ブリアンションの定理の証明

質問

タイトルの通りなのですが、ブリアンションの定理は、どのように証明すればよいのでしょうか？
どうぞ宜しくお願いします。

回答No.1

zarbon

ブリアンションの定理を証明する前に、次の補題を証明しておきます。

<補題>
円に外接する6角形ABCDEFの辺AB,BC,CD,DE,EFが円と接する点をG,H,I,J,K,Lとすれば、
3直線AD,GJ,LI, 3直線BE,HK,GJ, 3直線CF,IL,HKはそれぞれ1点で交わる。

(証明)
∠AGJ = ∠EJG(接弦定理から)
Aを通りEDに平行に引いた直線がGJと交わる点をXとすれば、
∠EJG = ∠AXG. よって∠AGJ = ∠AXG. ゆえにAG = AX
同様に、
Aを通りCDに平行に引いた直線がILと交わる点をYとすれば、
AL = AY
一方、AGとALはAから円に引いた接線なのでAG = AL
よってAX = AY

さらに、
ADとGJの交点をPとすれば,△PAX ∽ △PDJよりAP：PD = AX：DJ
ADとLIの交点をP'とすれば△P'AY ∽ △P'DIよりAP'：P'D = AY：DI
ここで、AX = AY, またDJとDIはDから円に引いた接線よりDJ = DI
よってAP：PD = AP'：P'D. よってP = P'

ゆえに3直線AD,GJ,ILは1点Pで交わる。

同様にして,3直線BE,HK,GJは1点Qで、3直線CF,IL,HKは1点Rで交わる。(証明終わり)

<ブリアンションの定理の証明>
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,P,Q,Rは上の補題で用いた点とする。

ADとBEの交点をO,
Oを通りABに平行に引いた直線がGJと交わる点をS,
Oを通りDEに平行に引いた直線がGJと交わる点をTとすれば、

∠BGJ = ∠OSJ(AB//OSより), ∠DJG = ∠OTG(DE//OTより), また∠BGJ = DJG(接弦定理から)
より∠OSJ = ∠OTG. よってOS = OT.

ここで、Oを通りDIに平行に引いた直線がPIと交わる点をUとすれば、
OU：DI = PO：PD = OT：DJ.
また、DI = DJよりOU = OT.

同様に、Oを通りBHに平行に引いた直線がHKと交わる点をVとすれば、
OV：BH = QO：QB = OS：BG.
また、BH = BGよりOV = OS.

以上より、OU = OV

さて、CI//OUより、IUはCOをCI：OUの比に分ける。
また、CH//OVより、HVはCOをCH：OVの比に分ける。

ところがCI = CH, OU = OVであるから、これはIU,HV,COが1点で交わることを示している。
すなわち、C,R,Oは1直線上にある。

以上から、3直線AD,BE,CFは1点Oで交わることが示された。