楕円の接線の式について

質問

曲線上の点　（X1，Y1）における接線の方程式
　　X１X／aの二乗　＋　Y１Y／ｂの二乗　＝１
　の導き方がわかりません。
どういうことなのでしょうか？

詳しい方お願いします

回答No.3

noname#50894 · ベストアンサー

簡潔に！

楕円：x^2/a^2+y^2/b^2=1…(1)

点(x_1,y_1)を通る直線
Ax+By=Ax_1+By_1［(A,B)≠(0,0)］…(2)

恒等式:(S^2+T^2)(U^2+V^2)=(SU+TV)^2+(SV-TU)^2を用い、
{(a/b)Ay-(b/a)Bx}^2=(x^2/a^2+y^2/b)(a^2A^2+b^2B^2)-(Ax+By)^2…(3)

(x,y)=(x_1,y_1)が(1)(2)の解であれば、
恒等式(3)を介して、(x,y)=(x_1,y_1)は、
{(a/b)Ay-(b/a)Bx}^2={(a/b)Ay_1-(b/a)Bx_2}^2…(4)
の解である。

(2)が(x,y)=(x_1,y_1)において(1)に接すれば、(4)は重根を持たねばならぬ。
ここに、重根条件は(4)の右辺が0となることである。
A:B=x_1/a^2:y_1/b^2

(2)に代入すると
x_1x/a^2+y_1y/b^2=x_1^2/a^2+y_1^2/b^2=1

お礼

たくさん書いていただいてありがとうございました。
恒等式からの解法とても参考になりました。

回答No.2

debut

微分で傾きを求めるか、接線をy=mx+nと置いて、２次方程式
の重解の条件（判別式＝０）で計算していくかのどちらかです。

式が面倒なので、参考ＵＲＬ（ページ中ほど）をご覧ください。
なお、y=mx+nと置いた方は、y1=mx1+nからさらにmの値が
-(b^2x1/a^2y1)と求められるので、計算を続ければ同じ結果
が得られます。

参考URL：

http://www.cfv21.com/archives/50640377.html

お礼

わかり易い説明ありがとうございました。
参考のサイトはとても参考になりました。

回答No.1

koko_u_

>の導き方がわかりません。
普通に計算するだけです。どの辺がわからないのか補足にどうぞ。

補足

回答ありがとうございます。

接点(X1,Y1)をどうして変数XとYにそれぞれかけるのでしょうか？
もともと
X・X　／　a・a ＋　Y・Y　／　b・b = 1
という楕円の公式がありますが

接点をそれぞれXとYに１つだけ代入すると
X1・X　／　a・a 　＋　Y1・Y　／　b・b = 1
この式がなぜ接線となるのがわかりません