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数列について

(等比数列) 次の数列の一般項を求めよ。 (1)1,11,11111… (2)125,125125,125125125,… (等差数列) 数列A;2,5,8…1001 数列B;10,20,30,…1000はともに等差数列である。 (1)AとBとに共通に含まれる数はどんな数列をつくるか。 分からないんで分かりやすくよろしくお願いします。

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  • 回答No.4
  • kony0
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等比数列の問題のほう、きっとまだ習ってないでしょうが「漸化式」というものを使ってとくことも可能です。 いつか漸化式を習ったときに思い出してくださいね。 第n項をa(n)とかくことにすると、 a(1)=1 a(i)=10*a(i-1)+1 と立式できる。 この式を変形するとa(i)+1/9=10(a(i)+1/9)(この式変形がツボなんです) ここでa(i)+1/9=b(i)とおくと・・・けっこううまくできます。 この問題のおすすめ解法は、「階差数列」「漸化式」「9倍して1を足し、最後に9で割る方法」ですか。 「9倍して1を足し、最後に9で割る方法」は知ってたらできるけど、気づかなかったら・・・ねぇ。という感じがしなくもないです。 漸化式は、パターン「10倍して1を足してる」という事実が読み取れればよいので気づきやすい。 でも、なんかちょっと変わった数列だな・・・と思ったら、階差数列をとることをお薦めします。(高校の数列の問題を解く分には、という限定ですが) (等差数列) 「3でわって2あまる数」であり、かつ「10で割り切れる数」はどんな数ですか? と書き換えれば、とたんに小学生か中学生の問題にはやがわりします。^^ しかし式でまじめにやろうと思うと、意外や意外、「不定方程式の整数解」問題という、少し高級な問題になってしまいます。 共通の数を3a+2=10b(a,bは整数)とおいて、この方程式を解くことになります。 まず(a,b)=(6,2)は解なので、3(a-6)=10(b-2)と書けます。 ここで、左辺は3の倍数なので右辺も3の倍数、でも10は3の倍数でないから、「b-2が3の倍数である」ことがいえます. よって、b-2=3k(kは整数)とおける。このときa-6=10k、(共通の数)=30k+20 あとはkを求めれば完璧。^^

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3

[等差数列の(2)] #1の方法なら、階差数列の知識を用いて解くことになります。 あるいは(1)とよく似た解法も可能で、 (ア)125, 125125, 125125125, 125125125125, …… 全項を125で割ると (イ)1, 1001, 1001001, 1001001001, …… さらに999倍すると (ウ)999, 999999, 999999999, 999999999999, …… (そして1を加えると) (エ)1000, 1000000, 1000000000, 1000000000000, …… すなわち (エ)10^3, 10^6, 10^9, 10^12, …… となり、(エ)の一般項は 10^(3n)ですね。 (エ) = (ア)÷125×999 + 1ですから、逆算して (ア) = [(エ) - 1] ×(999/125)として求まります。

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  • 回答No.2

等比数列(1)は、まず 次の数列を用意します。 10、100、1000、・・・・ 全ての項から1を引くと 9、99、999、・・・・ 全ての項を9で割ると 1、11、111、・・・・ と出ます。一般項は自分で考えましょう。 等差数列はAの公差が3、Bの公差が10ってことは 求める等差数列って公差が30になりそうじゃないですか。 証明は、、親切な人にお任せします。 ではでは。

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  • 回答No.1
  • mellowy
  • ベストアンサー率27% (19/69)

等比数列(2)だけですけど。 第一項と第二項の差が 125,000 第二項と第三項の差が 125,000,000 ですから 第三項と第四項の差が 125,000,000,000 となると思います。 ここで差を見ると 0 が3つずつ増えてますので 10の3n乗個の増加となるので n>=1となるには、 125 x 10^3(n-1) となります。 こんな感じです。 間違っていたら御免なさい。

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