計算

質問

ｋ分の１+（ｋ+１）分の１＝（ｋ+１）分の２ｋ+（ｋ+１）分の１
→（ｋ+１）分の２ｋ+（ｋ+１）分の１－「（ｋ+１）+１」分の２（ｋ+１）
この変形がよくわかりません。
どのように変形したのか説明お願いします。

回答No.2

debut

この計算は
１+2分の１+3分の１....+ｎ分の１≧（ｎ+１）分の２ｎの証明
ですよね。
ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定して
１+2分の１+3分の１....+ｋ分の１≧（ｋ+１）分の２ｋ
これがｋ＋１でも成り立つ、つまり最終的にはｋをｋ＋１にして
１+2分の１+3分の１....+ｋ分の１＋(ｋ＋１)分の１
　≧（(ｋ+１)＋１）分の２(ｋ＋１)
といいたいわけですよね。
ところが、
左辺をその形に合わせるために(ｋ＋１)分の１を両辺に加えること
しかできず、そのため右辺は(ｋ＋１)分の２ｋ＋(ｋ＋１)分の１
で、目的の((ｋ+１)＋１)分の２(ｋ＋１)にはなりません。
だけど、不等式なので、(ｋ＋１)分の１を加えてできた右辺より
目的とする右辺の方が小さいことがいえれば、つまり
(ｋ＋１)分の２ｋ＋(ｋ＋１)分の１≧((ｋ+１)＋１)分の２(ｋ＋１)
がいえればその目的が達せられるだろうということで、
(ｋ＋１)分の２ｋ＋(ｋ＋１)分の１－((ｋ+１)＋１)分の２(ｋ＋１)
を計算するわけです。（これが０以上を証明すればいいから）
前の２項は分母が同じなのでまとめて
＝(ｋ＋１)分の(２ｋ＋１)－(ｋ+２)分の２(ｋ＋１)
通分して、
＝(ｋ＋１)(ｋ＋２)分の(２ｋ＋１)(ｋ＋２)
　　－(ｋ＋１)(ｋ＋２)分の２(ｋ＋１)^2
＝(ｋ＋１)(ｋ＋２)分の(２ｋ^2＋５ｋ＋２－２ｋ^2－４ｋ－２)
＝(ｋ＋１)(ｋ＋２)分のｋ
となって、ｋは１以上なので(ｋ＋１)(ｋ＋２)分のｋ≧０
だから、
(ｋ＋１)分の２ｋ＋(ｋ＋１)分の１≧(ｋ+２)分の２(ｋ＋１)
がいえた、ということです。

回答No.1

ushioni

「→」の前は方程式だったのに、「→」の後がただの式になってます。
何か書き忘れていませんか？

補足

すいません、、＝０を忘れてました。
それで、計算お願いします。