どうして垂直二等分線に？

質問

長さが10cmの線分ABの両端から5cm以上開いたコンパスで円を描き、その交点同士を結ぶと垂直二等分線になると教わりました。
線分の長さは30cmでも1mでもいいんですが（汗

質問なんですが、何故この方法で線分は二等分されるのですか？
線分の長さの半分以上（10cmの線分なら5cm以上、20cmの線分なら10cm以上）コンパスを開けば、どんな長さでも二等分されますよね？どうして交点の位置が必ず二等分される位置なんでしょう？
その理屈が全くわからないんですが……

友達に訊いたところ「そんなの当然のことじゃん、疑問に思うほうがおかしいよ」と返されてしまいました；
もし本当に単純な理屈だったらすいません。それでもわからないんです。

回答No.5

zarbon · ベストアンサー

まず、No1,2,4の回答者さまが言っている、
「菱形だから対角線が直交する」というのは、この質問で問われている「PQ(円の2交点)がABの垂直二等分線になる」という命題そのものであり、答えになっていません。

No3さまの証明も、証明になっていません。

円の2交点をP,Qとすると、△APQと△BPQが合同になるから∠APQ = ∠BPQであり、ABとPQの交点Rは、AP = BPである二等辺三角形PABの
頂角の2等分線と底辺ABとの交点になるので、PRはABを垂直に2等分することになるのです。
なぜ、二等辺三角形の頂角が底辺を2垂直に2等分するかは、分けられた2つの三角形が合同になるからです。

なお、三角形の合同についてはまだ学習されていない？と思われますが、今のところは、深く考えない方がよいと思います。

しかし、この様な疑問を持つことはすばらしい事であり、これこそ数学的思考力であると言えます。
感心致しました。

お礼

私の文章から読み取っていただいてありがとうございます。
他の皆さんとは少し違った回答で、新しく垂直二等分線について理解することができました。
あ、まだ三角形の合同については習っていません。やっぱり疑問を理解するためにもそれなりの知識が必要なんですね

＞しかし、この様な疑問を持つことはすばらしい事であり、これこそ数学的思考力であると言えます。
感心致しました。

ありがとうございます。数学であらゆることに疑問を持つので時々変わり者扱いされてしまうことがあるんです；
少し卑屈になっていたので前向きに考えることができました。

回答No.4

mosda

一般化して説明します（数値を代入しては確かな証明にならぬので・・・）

線分ABの長さをxとおく。

点A,点Bそれぞれを中心に半径aの円を描く（a＞x/2）

円A,Bの交点をそれぞれp,qとおく

線分Ap,Aq,Bp,Bqの長さはどれもa

つーことは

一辺の長さがaのひし形になると。

だから、線分ABとその垂直二等分線の関係は、ひし形の対角線の関係と等しい。

ひし形の対角線は互いの中点を通り直角に交わるので線分ABと線分pqは直角かつ各辺を２等分する。

だから直線pqは線分ABを垂直に二等分すると

でおｋ？

でも、数学はそういうところに疑問抱いちゃうとキリがなくなるからある程度は妥協していかないと疲れちゃうよ

お礼

やっぱり菱形として見るんですね、どうも柔軟に考えることができなくて；
おかげでスッキリしました、疑問に思うと解決するまで気が済まないんで……。
数学の理屈に対して妥協することはどうやら私には無理なようです（笑
ありがとうございました

回答No.3

kbtkny

A,Bからのコンパスでの交点をC、点Cからの辺ABに垂線を下ろした点をDとします。三角形ACDと三角形BDCは合同なので、対応する辺ADとDBが等しいと言うことになり、二等分が証明されます。
**三角形ACDとBDCが合同の証明**
一辺とその両端の角が等しいことにより、合同が証明されます。
辺ACと辺CDは同じ開度のコンパスで書いた交点からの線なので等しい
角CADと角CBDは二等辺三角形ACBの両角なので等しい
角ACDと角BCDは、180-90-角CAD(またはACB）で等しい

と言う説明はいかがでしょうか？

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。。
二本の直線としか考えていなかったので、わからなかったんですね。
三角形や菱形として見ると理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

dephands

要はひし形の対角線はそれぞれの真ん中の点で直行するってことです。

コンパスで書く円は、足の置いてあるAなりBなりから同じ長さのところにある点の集まりになってますから、Aからコンパスで引いた円と、Bから引いた円の交点は、AからもBからも同じ距離にあることになります。それで、その2つの交点と、A,Bを結ぶと、それぞれのへんが全て等しいので、ひし形になりますよね。

ひし形を書いて、対角線を引いて考えてみてください。

*関係ないですが、
「そんなの当然のことじゃん、疑問に思うほうがおかしいよ」
こういうこと言う人は、たいていちゃんと他人に説明できるほど理解できてないんだと思いますよ。この人のように、そういうものだと思って、問題だけ解ければいいって言うのもまぁ、ひとつの処世術ではありますが、勉強に対する姿勢としてはどうでしょうかね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
こうして理屈を説明してくださると、問題を解くときに余計な事を考えなくて済みます＾＾
円の面積の求め方の公式の意味が理解できなくてテスト中 考え込んでしまったことがあったので；

回答No.1

shintaro-2

>どうして交点の位置が必ず二等分される位置なんでしょう？

結局、菱形を描いているからです。
菱形の対角線は互いに他を2等分して直交しますよね？

お礼

あ、菱形を描いているっていうことは気づきませんでした。
直線、としか考えていなかったので……。スッキリしました、ご回答ありがとうございます。