高一数学です。なるべくお早めに・・（証明）

質問

明日期末テスト（数Ａ）があります。出来ればいますぐ教えてください。問題には
★｜ａ｜＜１．｜ｂ｜＜１のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1)１＋ａｂ＞０ (2)｜ａ＋ｂ｜＜１＋ａｂ
とあり、(2)が分かりません。きっと(1)を使うのだと思いますが・・。
それと、全く別の問題でもう一つ。（これも証明です）
★√~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
２（ａの２乗＋ｂの２乗）≧｜ａ｜＋｜ｂ｜
＊上の√は、左の式の最後までかかります。
どうかおねがいします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

できるなら、自分はここまで解いてここで詰まっているという形のほうが、あなたのためなんですが、明日テストならそうも言ってられませんよね。

a^2 はaの2乗のことです。

【1番目の問題】
｜ａ｜＜１．｜ｂ｜＜１のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1)１＋ａｂ＞０ (2)｜ａ＋ｂ｜＜１＋ａｂ

(1)｜ａ｜＜１．｜ｂ｜＜１ ⇔ -1< a < 1 , -1 < b < 1
a≧0,b≧0 のとき　　ab≧0 よって、1+ab>0　は成り立つ。
a<0,b<0 のとき　　ab>0 よって、1+ab>0　は成り立つ。
a>0,b<0のとき
a<1,b>-1なので　ab > b > -1 つまり ab > -1 (a<1の両辺に負の数bをかける）
a<0,b>0のときも同様に　ab > -1　ゆえに 1+ab > 0
よって、すべての場合において、 1+ab>0 は成り立つ。

(2)　

(1+ab)^2-(a+b)^2
=1+2ab+(ab)^2-(a^2+2ab+b^2)
=(ab^2)-a^2-b^2+1
=a^2(b^2-1)-(b^2-1)=(a^2-1)(b^2-1)
｜ａ｜＜１　より、a^2 < 1 ∴a^2-1 < 0　同様に b^2-1<0
よって(1+ab)^2-(a+b)^2=(a^2-1)(b^2-1) > 0
従って(a+b)^2 < (1+ab)^2 となり、|a+b|>0 と(1)から1+ab>0 なので、与式も成り立つ。

【2番目の問題】
これも両辺を2乗して引き算します。
2(a^2+b^2) -(|a|+|b|)^2
=2a^2+b^2 -(a^2+2|a||b|+b^2)
=a^2-2|a||b|+b^2 = (|a|-|b|)^2 ≧　0
与式の左辺＞０、右辺＞０だから与式も成り立つ。

この手の問題（絶対値とか√）が出てきたら、まず2乗することを考えましょう。
あとは、相加平均、相乗平均ですね。（習ってますよね？）

お礼

ありがとうございましたっ！！ヤッパリ数学は分かると楽しいデスネ！！

回答No.7

hinebot

> あ，いやこれでは，例えばa=0,b<0の場合が含まれていないのでは？(","はandの意味ですよね?)

言われてみれば、そうですね。失礼しました。^^;

はしょって「a≧0,b≧0 のとき」と書いてしまいましたが、気持ち的には
「a>0,b>0のとき,および aまたはbが0のとき」のつもりでした。^^;

でも、答案では許されませんね。
おっしゃる通り、場合しないで解く方がスマートです。

回答No.6

noname#8570

>よーく見てください。
>> a≧0,b≧0 のとき　　ab≧0 よって、1+ab>0　は成り立つ。
>ここで、等号を入れています。

あ，いやこれでは，例えばa=0,b<0の場合が含まれていないのでは？(","はandの意味ですよね?)

>aとb の符号が等しい場合は　ab = |a||b|なので
>1+ab > 1-|a||b|
>aとb の符号が異なる場合は　ab = -|a||b|なので
>1+ab = 1-|a||b|
>どちらか一方（両方でも可）が0のときも　ab=|a||b|=0 >なので
>1+ab = 1-|a||b|
>ですね。
もちろんそうなのですが，この問題では
場合分けは必要ないかと思いまして．
ん？「明らか」を詳しく説明していただけたのですね．

回答No.5

hinebot

>あと♯1の方の補足ですが，
>(1)の解答で場合分けが完全では無いような気がします．
>a=0 または b=0 なら ab=0． よって1+ab>0
>が必要だと思います

よーく見てください。
> a≧0,b≧0 のとき　　ab≧0 よって、1+ab>0　は成り立つ。
ここで、等号を入れています。

あと、
> 1+ab>=1-|a||b| は絶対値の定義より明らか
ですが、
aとb の符号が等しい場合は　ab = |a||b|なので
1+ab > 1-|a||b|
aとb の符号が異なる場合は　ab = -|a||b|なので
1+ab = 1-|a||b|
どちらか一方（両方でも可）が0のときも　ab=|a||b|=0 なので
1+ab = 1-|a||b|
ですね。
（念のため）

回答No.4

noname#8570

あと♯1の方の補足ですが，
(1)の解答で場合分けが完全では無いような気がします．
a=0 または b=0 なら ab=0． よって1+ab>0
が必要だと思います．他は正確に書けば，
(1)．-1<a<0,-1<b<0
(2)．-1<a<0,0<b<1
(3)．0<a<1,-1<b<0
(4)．0<a<1,0<b<1
という場合分けになると思います．
あとはabの値を計算すればよいのですが，
この場合分けの中でabが負になるのは(2)と(3)のときで
このときだけを調べればよいと思います．

回答No.3

noname#8570

(1)に関しては場合分けをしなくても大丈夫かと思います．

|a|<1,|b|<1 より |a||b|<1 なので 1-|a||b|>0.
1+ab>=1-|a||b| は絶対値の定義より明らか．
よって 1+ab>0

で良いと思います．

回答No.2

hinebot

#1です。１つ注意を書き忘れました。
2乗して大小を比べるときは、2乗する前に両辺とも正であることを確認してください。
x>0,y>0 のとき x>y ⇔　x^2>y^2
ですが、「x>0,y>0 のとき」の条件がないと
x>y ⇒　x^2 > y^2
の一方向しか成り立ちません。