逆行列の固有値の証明について

質問

逆行列の固有値の証明で以下の証明は間違っているのですが、どこが間違っているのかがわかりません。考えたのですが、あっているようにしかみえないのですが、どこが間違っているのか教えてください。反例も示していただけると助かります。

証明
n=3で一般でも同様

行列Aの固有値をλ１、λ２、λ３（≠０）
とすると
ｆA（λ）＝（λーλ１）（λ－λ２）（λ－λ３）
∴ｆA（０）＝－λ１λ２λ３

ｇ（λ）＝(λ－１/λ１）（λ－１/λ２）（λ－１/λ３）とする。
これをｆA（λ）を用いて表す。
ｇ（λ）＝λ/λ１（λ１－１/λ）（λ２―1/λ）（λ３－1/λ）
＝λ^3/ｆA(0)　ｆA（１/λ）

ｆA（λ）を展開したものが
ｆA（λ）＝λ^3＋ｐλ^2＋ｑλ＋ｒ
だとすると
ｇ（λ）＝λ^3/ｒ（1/λ^3＋ｐ１/λ^2＋ｑ1/λ＋ｒ）
＝１/r（１＋ｐλ＋ｑλ^2＋ｒλ^3）
さて
ｇ（A^‐１）＝１/r（I＋ｐA^-1＋ｑ（A^-1）^2＋ｒ（A^-1)^3）
（A^-3)^3（A^3＋ｐA^2＋ｑA＋ｒI）
＝０

従ってｇ（λ）＝ｆA^-1（λ）
であることが示された。

以上です。わかる方教えてください。

回答No.2

nakaizu · ベストアンサー

最後の部分でしょう。
g(A)＝0のときにgはAの最小多項式の倍数であることは分りますが、固有多項式であるとはかぎりません。
たとえばA＝I(単位行列)、g(λ)＝λ^3-λとするとg(A)＝0ですが、gはAの固有多項式ではありません。
なお、固有値が重解でないときにはこのようなことはおきません。

お礼

あぁー。なるほど。固有多項式になるとは限らないですね。
わかりました！もう一回考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

や, 「逆行列の固有値の証明」といっても, 逆行列の固有値について「何を」証明したいのかが書いてないでしょ, ってこと.
で, A の固有値を λ1, λ2, ... としたときに A^-1 の固有値が 1/λ1, 1/λ2, ... となることを示すのに固有多項式を持ち出すのは, はっきり言って筋が悪いと思います.
λ1, ... が全て異なっていれば, 次のように一瞬で証明できます:
λ が A の固有値 iff ∃x≠0 s.t. Ax = λx iff ∃x≠0 s.t. x = Ix = A^-1(Ax) = λ(A^-1 x) iff ∃x≠0 s.t. A^-1 x = (1/λ)x iff 1/λ は A^-1 の固有値
λ1, ... の中に等しいものがあるとややこしいんだけど, 広義固有空間などを考えて同じような議論をすることになります. 実質的には, A の λ に対する広義固有空間の次元と A^-1 の 1/λ に対する広義固有空間の次元が一致することを示せば OK かなぁ?

お礼

質問のないようがわかりにくい書き方ですいませんでした。

でも正しい証明ありがとうございます。助かりました。

回答No.1

Tacosan

すみません, そもそも何を証明したいんでしょうか?

補足

あ、すいません。ちょっと説明不足だったかもしれません。
題名に書いてあるのですが、逆行列の固有値の証明です。
つまり、ある行列Aの固有値がλ１、λ２、λ３…だったとき逆行列の固有値が1/λ１、1/λ２、1/λ３…になるということの証明です。