交換の法則は成り立つか

質問

乗法には交換の法則が成り立ちますね。
ａ×ｂ＝ｂ×ａ

では次のような場合もＯＫでしょうか？

２×３ｍ　はできるか？
できる。答えは６ｍである。
なぜならば２×３ｍは３ｍ×２と考えることができるから。

今までいろんな人の考えを聞きましたが
それぞれに理由があり，自分では判断できません。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

・a × b を「aがb個ある」と見るか、「a個のbがある」と見るか、両方認めるか。或いは
・a × b = b × a を「『aがb個ある』は『bがa個ある』と同じ」と見るか、「『aがb個ある』は『b個のaがある』と同じ」と見るか、両方認めるか。
そういう問題だと理解しました。

そこでちょっと、算数教育と言うよりテツガクあるいは人工知能の問題として考えてみました。

●現実の問題と、算数（数学）の世界との対応は自明ではありません。
リンゴが3個あります。1個食べたら残りは幾つ？という問題を(3-1)という式に写す対応付けを行い、計算した答え2を同じルールでリンゴ２個に戻す。この対応付けは問題毎に適切に設定しなくてはならない。（計算は得意だけど文章題が苦手、というのはここんとこの問題ですね。）
また、この対応のさせ方は一通りとは限りません。いろんなアプローチがあって良い。

●「8メートルの棒が5本あります。まっすぐ繋いだら何メートルでしょう。」に対して
（8m)×5=40m, 5×(8m)=40
は良いとして、他に式は立てようがないのか？

●この場合、現実の問題を算数の世界に写すためには
・どんな順番で繋いでも、どう切って繋いでも、全部の長さは変わらない。
・棒の長さが数で表せる。
・繋いだ長さ、というのはそれぞれの棒の長さを表す数の足し算で表せる。
これらが認識出来ていないと、この問題は解けない。
（なお、
・同じ数を沢山足すならかけ算で良いこと。
は計算技術上の知識であって、あまり本質的ではない。）
　上記の認識がいい加減であると、
「8メートルの棒が5本束ねてあります。長さは何メートルでしょう。」
の答を40mにしてしまうことになります。

逆にこれが認識できていれば、たとえば、
・「１本を切って２mの棒４本に分け、残り4本の棒に継ぎ足せば10mの棒が４本できる。だから(10m)×4 = 40m」
という解き方でも構わないでしょう。

●でも
「8メートルのへびが5匹います。まっすぐ連なって並んだら何メートルでしょう。」に対して
(10m)×4
という式なら、蛇切るの？？
　動物虐待なしにこの式が書けるためには、
・蛇でも棒でも答は同じになる。だから蛇か棒かは無視して良い。
という認識に基づいて、
・この問題の答は「8メートルものを5個まっすぐ並べたら何メートルでしょう。」と同じ。
を了解しなくてはならない。これが抽象化です。

　抽象化をもう一段進めて
・長さの代わりに重さでも人数でも値段でも、繋いだり合わせたりしたら足し算が使える。だから
・「8グラムのものを5個集めたら、何グラムでしょう。」と答の数値は同じ。
これでようやく足し算（あるいはかけ算）と現実との対応の本質、つまり
・「足す」という抽象的操作で表せるものは「足し算」で答が出せる。逆に「足し算」使えるものが「足す」ということ。
という認識に到達する。（もちろん、これは同義反復です。つまり足し算が使えるかどうかは自明ではない。問題毎に考えなくてはいけません。アルコール100ccと水100ccを混ぜても200ccにはなりませんよね。）

●そうなれば、
・「8円のものを5個買ったら幾らでしょう。」と答の数値は同じ。
・「8×5」と答の数値は同じ。当然8×5=5×8
ここまで抽象化が出来てしまえば、ご質問の問題も解消してしまいます。で、ここまで出来て初めて「足し算（かけ算）が分かった、自在に使える」ということである。

　実際に数学を使う場面において「現実の世界の問題を数学の世界にどのように対応させるか」という所がポイントになることが多いし、計算の仕方を（出来合いの足し算かけ算じゃなしに）イチから構成しなくてはならないような場合もあります。
　たとえば図形の問題はユークリッド幾何学で（補助線なんか引いてみたりして）扱うのが普通でしょうが、解析幾何学では図形の性質を座標(x,y,z)を使って数式の問題に対応させることもできます。「コンパスと定規で角度を３等分する」という問題では、さらに数式を集合の要素に対応させ、この集合の性質の理論を使って初めて、そのような作図が不可能であることが証明されます。
　この対応付けは問題毎に適切に設定しなくてはならない。そしてそれは一通りとは限らない。

お礼

正直，難しかったです。
勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

rogmt

小学校過程の算数では、掛け算の文章問題を習うとき、かける数ａとかけられる数ｂをａ×ｂとして区別しているようです。
つまり、１個ａ（100)円のりんごをｂ(5)個買ったときの金額は、ａ円×ｂであって、ｂ×ａ円ではないようなのです。というのも、我が家の娘はテストで５×100＝500；500円と書いて△をもらって５点減点されていました。
数学的には意味のないことです。こんなことしてるから、算数嫌いの子が増えると思いますがねえ。

お礼

式に単位をつけていないのですね。
これなら問題ないと思うのですが，
まだ自分でよく納得できていないところです。

ただ子どもを算数嫌いにしちゃいけないというのは
思います。
ありがとうございました。

回答No.1

134

？　何を意図した質問なのでしょう？

　ａ×ｂ×ｃ＝ｂ×ｃ×ａ＝ｃ×ａ×ｂとなるように

２×３ｍ＝２×３×ｍ＝２×ｍ×３＝２ｍ×３　となります。

６メートルのロープを２等分すれば、３メートルずつになりますし、３等分すれば３メートルずつになりますし。

　２×３ｍが「できない」の意味の補足をお願いしたい　です。

補足

できないの意味ですね。

それは掛け算の意味を
一あたりの量×いくつ分＝全体の量
と考えている人がいて，
その考えに基づくと
交換しちゃうと意味がおかしくなるというわけです。

もちろん，単位がついていなければいいんですけど。