みかん、りんご、めろんの3種類の果物を10個選ぶ

質問

問題
　(1)選ばない果物があってもよい、何通りあるか？
　　　66通りにならなく。
　　　　3^10は違うし、10C3でもないですし。
　(2)いずれの果物も少なくとも2個は入れるとすると何通り
　　あるか？
　　　15通り

　答えしかないので考え方がわからないと行き詰ります。
　どのようにすればいいでしょうか？

回答No.7

kumipapa · ベストアンサー

皆さんがおっしゃるように、基本的な重複組み合わせの問題です。
私も始めはなかなか慣れませんでしたが、慣れるまでは整数の和の問題に置き換えて考えるようにしていました。
これが良い方法か、質問者さんに馴染むかは分かりませんが、参考になれば。

重複組み合わせの問題は、整数の和の組み合わせの問題として考える事ができます。この問題ならば、
みかん x 個、りんご y 個、めろん z 個とすると、
（１）は x + y + z = 10, ただし x,y,z ≧ 0
（２）は x + y + z = 10, ただし x,y,z ≧ 2
を満たす整数 x, y, z の組み合わせの数を求める問題になります。
また、「みかん 10 個を３人に配るとき、配り方は何通り？」などという問題も、一見すると違う種類の問題に見えるかもしれませんが同じように考える事ができる重複組み合わせの問題です。３人（Ａ，Ｂ，Ｃさん）に x 個、y 個、z 個配ると考えて、x + y + z = 10 となる整数 x, y, z の組み合わせの数を求めれば良い。０個の人がいても良いなら x,y,z ≧ 0 という条件をつけるし、一人少なくとも２個は配るという条件なら x, y, z ≧ 2 という条件をつけて組み合わせの数を求めます。
というように問題を「和が一定となるの整数の組み合わせの数」に置き換えることができれば、あとはお定まりの方法で解けます。
で、一般的に
x + y + z = n
x,y,z ≧ 0
となる整数 x,y,z の組み合わせの数を考えます。ここで、#1 さんが説明されたような、丸（○）と棒（｜）の組み合わせを考えます。
合計が n ですので、○を ｎ 個並べます。
次に、変数は３つですが、棒（｜）を３－１＝２本用意します。○と○の間に２本の棒を突っ込めば、n個の○を３つのグループに分けられるため、変数の数より１個少ない棒を考えます。入れる並べ方を考えると、左端から最初の棒までの○の数を x の値、次の棒までの○の数を y の値、そしてそこから右端までの○の数を z の値と対応させることができます。例えば、n = 5 で○が 5 個のとき、
｜｜○○○○○　は　x = 0, y = 0, z = 5
○｜｜○○○○　は　x = 1, y = 0, z = 4
○○｜○｜○○　は　x = 2, y = 1, z = 2
○○○○｜○｜　は　x = 4, y = 1, z = 0
というように○と｜の並び方と x + y + z = 5, x,y,z≧0 を満たす整数 x,y,z の組み合わせを対応させて考えるわけです。
こう考えれば、x + y + z = 5, x,y,z≧0 を満たす整数 x,y,z の組み合わせの数は、○ 5個と｜ 2個の並べ方の数だけありますから、7Ｃ2 通りとなります。
同様に考えれば、x + y + z = n, x,y,z≧0 である整数 x,y,z の組み合わせの数は、n 個の○と 3-1 = 2個の｜の並べ方を考えて (n+3-1)Ｃ(3-1) 通りとなります。ご質問の（１）は、n=10 のときですから、12Ｃ2 通り。
和が n ならば○をn個、変数が k 個ならば｜を(k-1)個、これらの並べ方を考えて (n+k-1)Ｃ(k-1) が求める組み合わせの数となります。

さらに、x + y + z = n, x,y,z≧m である整数 x,y,z の組み合わせの数は、x ' = x - m, y ' = y - m, z ' = z - m と変換すると、
x ' + y ' + z ' = n - 3m
x ',y ', z ' ≧ 0
の組み合わせの数に置き換わりますから、上と同じように組み合わせの数を求めればよく、(n - 3m)個の○と 3-1=2 個の｜の並べ方の数を数えて (n-3m+3-1)Ｃ(3-1) 通りとなります。ご質問の（２）は n = 10, m = 2 のときで、
x + y + z = 10, x,y,z≧2
なので、x ' = x - 2, y ' = y - 2, z ' = z - 2 として
x ' + y ' + z ' = 10-2×3 = 4, x ',y ',z ' ≧ 0
と置き換え、４個の○と２個の｜の並べ方を数えて 6Ｃ2 となります。
x,y,z から x ' = x - 2 のように x ', y ', z ' へ変換して考えるのは、#1 さんがおっしゃる「みかん，りんご，めろんを2個ずつ既に入れておけば，残る 4 個をどう選ぶかについて (1) と同様に考えればよい」ということに相当します。

問題によっては、x + y + z = n ではなくて、x + y + z ≦ n のように記述される問題もありますが、それも同様な考え方で解く事ができるのですが、長くなりましたので折あらばまた。

お礼

ありがとうございます。新年へ向けて考えてみます。詳細に書いてくれていますのでじっくりやってみます。

回答No.8

aiueo95240

比較すると分かりやすいと思います。

みかん=a、りんご=b、めろん=c

みかん、りんご、めろんの3種類の果物から２個選ぶ（組合せ）
(1+a)(1+b)(1+c)の２次の係数
a=b=c=xとおいた式f(x)=(1+x)^3の２次の係数
f^(2)(0)/2!=3C2

みかん、りんご、めろんの3種類の果物から２個ならべる（順列）
(1+a)(1+b)(1+c)の２次の係数*2!
a=b=c=xとおいた式f(x)=(1+x)^3の２次の係数*2!
f^(2)(0)=3P2

みかん、りんご、めろんの3種類の果物を重複を許して10個選ぶ（重複組合せ）
(1+a+a^2+a^3+…)(1+b+b^2+b^3+…)(1+c+c^2+c^3+…)
=1/(1-a) * 1/(1-b) * 1/(1-c)の１０次の係数
a=b=c=xとおいた式f(x)=1/(1-x)^3の10次の係数
f^(10)(0)/10!=3H10

みかん、りんご、めろんの3種類の果物を重複を許して10個ならべる（重複順列）
(1+a+a^2/2!+a^3/3!+…)(1+b+b^2/2!+b^3/3!+…)(1+c+c^2/2!+c^3/3!+…)
=e^a * e^b * e^c の１０次の係数*10!
a=b=c=xとおいた式f(x)=e^3xの10次の係数*10!
f^(10)(0)=3Π10

回答No.6

aiueo95240

母関数を使う方法も分かりやすいと思います。

みかん=a、りんご=b、めろん=c
とすると、
(1+a+a^2+a^3+…)(1+b+b^2+b^3+…)(1+c+c^2+c^3+…)
=1/(1-a) * 1/(1-b) * 1/(1-c)

の１０次の係数を求める。

f(x)=1/(1-x)^3

とすると、

f^(10)(0)/10!
=3*4*5*6*7*8*9*10*11*12/10!
=66

お礼

母関数？
　式？
　１０次の係数？

　いろいろな方法があるんですね。

ありがとうございます。

　この解法についてもう少し知りたいので締切はやめておきます。

補足

ただただ、はぁすごいと思うのみで。ぜひ解説をお願いします。

回答No.5

age_momo

前の質問でもそうですが、質問者さんはまだ、重複組み合わせの
考え方がマスターできていないようですね。
結構、重宝する考え方ですのでこの機会に覚えてください。
(問題そのものは典型的な重複組み合わせの問題です)

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm

お礼

URLに行きました。じっくりやってみます。

回答No.4

a-saitoh

Ano.1がスマートですが、
そういう発想が出てこなかったときの力技

1種類の果物をn個選ぶ・・・常に1通り
2種類の果物をn個選ぶ(0個もあり）・・・n+1とおり
3種類の果物をn個選ぶ(0個もあり）・・・・
一つ目の果物をk個とすると、kは0個～n個。
残りの2種類の果物は、(n-k)個だから、　(n-k+1)とおり
Σ(k=0→n)　n-k+1　=n+1 + n + n-1 +・・・・+1
= (n+2)(n+1)/2

(2)各果物を2個づつ先に選んで「3種類の果物を4個選ぶ。０個もあり」を行うと思えば、(n+2)(n+1)/2の　n=4の場合。１５通り？

お礼

力技でも一般的にしてくれ。じっくり考えてみます。ありがとうございます。

回答No.3

postro

「重複組み合わせ」の基本問題です。（教科書または参考書参照）
（１）は、3H10=12C10=66 と計算します。
（２）は、あらかじめ2個ずつ入れた後の話になりますから、
　3H4=6C4=15 です。

お礼

基本問題なんですね。なるほど調べてみます。

回答No.2

SOGYO

(2)から先にといたほうがわかりやすいと思います。

まず、すべて少なくとも2個は入れる必要があるので
10-(2×3)=4個の果物を運ばない果物があってもよいという条件で運ぶ方法を考えます。
(i)1種類の果物のみの場合
　3種類あるので、3通り
(ii)2種類の果物を運ぶ場合
　運ぶ果物をA,Bとして
　Aを3個、Bを1個
　Aを2個、Bを2個
　Aを1個、Bを3個
　の3通り、ここでA,Bのとり方は、選ばない果物を選ぶことと同じ
（A=みかん、B=りんごのパターンと、A=みかん、B=りんごのパターンは重複することに気づけるでしょうか？）
なので、3×3=9通り
(iii)3種類の果物を運ぶ場合
どれも最低1個は運ぶ必要があるので
4-(1×3)=1個の果物を運ばない果物があってもよいという条件で運ぶのと同じ。
当然1個しか運べないのですから3通り

(i)+(ii)+(iii)=3+9+3=15通り、となります。

(-)
　(1)に入る前に「すべての果物を最低1個は運ぶ」という条件で果物を運ぶとき何通りになるかを考えて見ましょう。
この場合、10-3=7個の果物を運ばないものがあってもよいという条件で運ぶ、ということと同じになります。
(i)1種類のみ
　果物は3種類なので3通り
(ii)2種類
　選んだ果物をA、Bとして
　Aが6、Bが1
　Aが5、Bが2
　・・・
　Aが1、Bが6
　以上6通り×選び方3通りで18通り
(iii)3種類
　すべて最低1個は運ぶので、
　7-3=4個の果物を運ばない果物があってもよいという条件で運ぶことを考えると
　(2)と同じことを考えていることになるので15通り

つまり答えは(i)+(ii)+(iii)=3+18+15=36通り

(1)
ここで本題の(1)に入りましょう。
(i)3種類運ぶ場合
　当然3通り
(ii)2種類運ぶ場合
　A=1、B=9
　・・・
　A=9、B=1
　の9通り×選び方3通りで=27通り
(iii)3種類運ぶ場合
　すべて最低1個は運ぶ、つまり先ほど寄り道して解いた問題の答えなので27通り

(i)+(ii)+(iii)=3+27+36=66

答えが66通り、となります。

お礼

ありがとうございます。じっくり書きながらまねて考えてみます。

回答No.1

k_m__

(1) 果物を下図のように横一列に並べることにします。
oooooooooo
しきい "l" を2つ用意して，この列を3つの区画に分割します。
そして，たとえば
oooloolooooo
と分割した場合には，左の区画には「みかん」を並べ，中央の区画には「りんご」，右の区画には「めろん」を並べることにして，
みみみ l りり l めめめめめ
という並べ方と解釈します。
これは「みかんを3個，りんごを2個，めろんを5個選ぶ」ことに相当します。
こう考えると，求める数は，10個の o と2個の l を並べてできる異なる記号列の総数となり，
それは o と l の合計12個の記号をおける椅子のうちから，l をおく椅子を2つ選ぶ組み合わせの数に等しいことから，12C2=66 通りとなります。

(2) 必ずみかん，りんご，めろんを2個ずつ既に入れておけば，残る 4 個をどう選ぶかについて (1) と同様に考えればよいです。
つまり，oloolooo みたいな 4+2 個の記号の並べ方の総数が答えになります。

お礼

言われればわかるということは自分で理解していないということなので
この機会にがんばってみます。ただの丸暗記にもなっていません。
ありがとうございました。