数列の漸化式と特性方程式についての質問
- 数列の漸化式とは、前の項と次の項の関係を表す数式のことです。漸化式において、変数に関する式を特性方程式と呼びます。
- 特性方程式を用いて、漸化式を変形することで、数列の項同士の関係や一般項を求めることができます。
- 特性方程式を用いた変形において、項同士が連続している場合と連続していない場合で、変形方法が異なります。それぞれの場合について理解する必要があります。
- ベストアンサー
数列 漸化式
こんばんは、 数列の漸化式、特性方程式について質問します。 Ａn+1＝pＡn+q（n＝１，２，３、、）p,qは定数はα=pα+qを満たすαを用いて、Ａn+1-α=p（Ａn-α）と変形出来ますよね。 そこで質問なのですが、Ａn+1＝pＡn +qはＡn+1とＡnが連続しているからαと置いて、変形できるんですよね？ ある問題を解いていて、Ａ2n+1=1/2Ａ2n-1 +1/2（n＝１，２，３、、）という式も、 特性方程式を用いて、Ａ2n+1-1=1/2（Ａ2n-1－1）と変形していました。こちらの式は、Ａ2n+1とＡ2n-1は連続していませんよね？ 私の、特性方程式の使い方間違っているんでしょうか？ よくわからないので、教えていただきたいです。お願いします！
- syr21
- お礼率46% (65/139)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞Ａ2n+1とＡ2n-1は連続していませんよね？ してるんですよ． これは A1 A3 A5 ・・・・ という系列を表しています． したがって，A2，A4などといった偶数部分の情報がないだけです． 分かりにくかったら，Bn=A2n+1とおいてください． そうすれば Bn=(1/2) Bn-1 + (1/2) (n=1,2,3,...) となります． 他にも，In+2とInのように「一個とび」の漸化式とかもあります． 添え字の番号にごまかされないのが大事で 順番に生成していくことができれば， その順番で連続していると考えるのです．
関連するQ&A
- だれか漸化式について教えてください。
もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。 漸化式のところでつまずいて前に進めません。 どなたか教えてもらえないでしょうか。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 初項がA1、An+1=PAn＋Q n＞1 P、Qは定数 の漸化式で確認しておきましょう。 An+1－α=P(An－α) つまり An+1=PAn－Pα＋α と与えられた漸化式 An+1=PAn＋Q を見て、定数項を比べると Q=－Pα＋α=α(1－P) となり、この式から α=Q／(1－P)・・・・・(1) とすればよいことが判ります。このとき数列{An－α}は An+1－α=P(An－α)より、公比Pの等比数列となり、その 初項は A1－α=A1－Q／(1－P)・・・・・・・(2) なので An－Q／(1－P)=(A1－Q／(1－P)）×Pのn-1乗・・・・(3) よって An=(A1－Q／(1－P))×Pのn-1乗＋Q／(1－P)・・・・・(4) と一般項が求まります。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 数列{An－α}の公比はPになることは直感的に判るのですが 初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが 最後に求まったのはAnの一般項でした。 それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果 です。 ここでの漸化式はAn+1－α=P(An－α)の形式に持ち込めたら 公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項 が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ つかめません。 解説のほどよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか隣接3項間漸化式について教えてください。
中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1－6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X＾2=5X-6の解 Ｘ=2、X=3 から 2＾n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1－2An=(A2－2A1)3＾n-1 n>=1 ・・・(2) An+1－3An=(A2－3A1)2＾n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2－2A1)3^n-1－(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1＝2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1＋3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の漸化式質問
教科書で漸化式の記述です。 an+1=pan+qで与えられている数列の求め方 例 a1=3 an+1=3an-4 で定義されている数列を{an}とする 数列{an}は 3 , 5 , 11 , 29 , 83 ,・・・となりますよね。 この数列{an}の各項から2を引くとできる 数列を{an -2}は 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ・・・ となる。数列{an -2}は、初項1 公比3 の等差数列になっている。 数列{an}に対して、数列{an -2}の一般項は an -2=1×3^n-1となっています。 ここが何でn-1なのですか？ {an}はn項あると思うのですが・・・ できるだけ詳しい解答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式から数列を求める
数列｛ａn｝は、ａ1=5、ａn+1=３ａn＋２^（n+1）で定義されている。このときａnをｎの式で表しなさい。 また、Ｓｎ＝Σ（ｋ=１～n）ａｋをnを用いてあらわしなさい。 という問題に取り組んでいます。 この形はいままで解いたことがないのですが、「特性方程式」を使う方法で解けるのでしょうか？ どのように解けばいいのか教えてください。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 隣接３項間の漸化式
隣接３項間の漸化式 次の条件によって定められる数列｛an｝の一般項を求めよ （１）a1=1,a2=2,a(n+2)+4(an+1)-5an=0(括弧の部分は添え字です。以下括弧は省略します） 指針 隣接３項間の漸化式→まず、an+2をx^2,an+1をx,anを１とおいたｘの２次方程式（特性方程式を解く。その２解をα、βとするとan+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α（an+1-βan) が成り立つ。この変形を利用して解決する。 （１）できる方程式の解はｘ＝１、ー５→解に１を含むから、漸化式はan+2-an+1=-5(an+1-an)と変形され、階差数列を利用することで解決 教えてほしいところ ・なぜ、an+2をx^2,an+1をx,anを１とおいたｘの２次方程式（特性方程式を解くと、an+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α（an+1-βan)を満たすα、βが求まるんですか？？ ・α＝１，β＝ー５として an+2-αan+1=β(an+1-αan),an+2-βan+1=α（an+1-βan)のどちらを利用しても同じ答えが出るのはなぜですか？？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど！わかりました。 丁寧に教えていただいてありがとうございました！