指数分布について

質問

密度関数がf(x)=e^-xであるとき
その条件付期待値
E(X|X≧t)=ｔ＋１となる理由がわかりません。
どのように計算すればよいのですか？？教えてください！

回答No.3

info22 · ベストアンサー

[注意]
（回答やお礼や）補足欄にはニックネームは書かないで下さい。
ニックネームはこのサイトの中でだけ使う個人情報です。
ところが、ここに書いたニックネームはインターネット上の
あらゆる検索エンジンで検索され、インターネット上にニックネーム
が曝されてしまいます。
回答者や回答や補足を引用する場合は
No1さん、とか#1さんという表現を使う事、
また回答や補足を引用する場合は
A#2の補足とか、A#1の回答といった頭にA(Anser)をつけて引用する事
を配慮して下さい。（これはこういったサイトを利用する際のマナー
ですから今後注意して下さい。）

A#1の回答およびA#2の補足の質問の積分
∫[t→∞] xe^(-x)dx=(t+1)e^(-t)　
は部分積分法で積分すれば出てきます。
∫xe^(-x)dx=x{-e^(-x)}-∫x'{-e^(-x)}dx
=x{-e^(-x)}-∫{-e^(-x)}dx
=x{-e^(-x)}-{e^(-x)}+C
=-(x+1)e^(-x)+C
積分の上限と下限[t→∞]を代入すれば
xe^(-x)=x/e^x→1/e^x→0 (ロピタルの定理)
であるから
∫[t→∞] xe^(-x)dx={-(x+1)e^(-x)|x→∞}-{-(x+1)e^(-x)|x→t}
=0+(t+1)e^(-t)
=(t+1)e^(-t)
となります。

お礼

配慮が足りませんでした、本当にすいませんでした。
返信ありがとうございます。

回答No.2

info22

#1です。
もし密度関数f(x)の定義以外、問題が正しいなら、
条件付期待値の定義を明確に書いていただけませんか？

定義が
E(X|X≧t)={∫[t→∞] xf(x)dx }/{∫[t→∞] f(x)dx }
であるなら
E(X|X≧t)={∫[t→∞] xf(x)dx }/{∫[t→∞] f(x)dx }
={∫[t→∞] xe^(-x)dx }/{∫[t→∞] e^(-x)dx }
=(t+1)e^(-t)/e^(-t)
=t+1
となります。

お礼

返信ありがとうございます！問題ではｘの範囲は示されておらず、とにかく密度はe^-xとしか書いていません。
条件付期待値の定義はE(X|X≧t)={∫[t→∞] xf(x)dx }/{∫[t→∞] f(x)dx }
で合っています。
info２２さんの解法の途中の
={∫[t→∞] xe^(-x)dx }/{∫[t→∞] e^(-x)dx }
の分子の積分の結果がなぜ
=(t+1)e^(-t)となるのかがわかりません。
教えてください。お願いします。

回答No.1

info22

>密度関数がf(x)=e^(-x)であるとき
x≧0のとき f(x)=0
という条件がついていないか確認して下さい。
この条件がつかないと密度関数になりません。

> E(X|X≧t)=ｔ＋１となる理由がわかりません。
間違っていませんか？
問題を確認して下さい。

E(X|X≧t)=∫[t→∞] xe^(-x)dx=(t+1)e^(-t)　(t≧0)
となるかと思います。