にゃんこ先生の自作問題、Buffonの針を正方形タイルに変えたら確率は?

質問

にゃんこ先生といいます。次のようにゃビュホンの針と呼ばれる問題が知られています。

(1)大きにゃ紙に間隔がdの平行線をたくさん引き、長さkの針をばらばらに落としたとき、 針が平行線と交わる確率pはp＝2k／πd とにゃる。

(2)では、大きにゃ紙に間隔がdの平行線をたくさん引き、一辺の長さkの正方形タイルをばらばらに落としたとき、 正方形タイルが平行線と交わる確率はどうにゃるのでしょうか？

(3)また、大きにゃ紙に間隔がdの平行線を縦横に格子状にたくさん引き、長さkの針をばらばらに落としたとき、 針が格子線と交わる確率はどうにゃるのでしょうか？

(4)さらに、大きにゃ紙に間隔がdの平行線を縦横に格子状にたくさん引き、一辺の長さkの正方形タイルをばらばらに落としたとき、 正方形タイルが格子線と交わる確率はどうにゃるのでしょうか？

必要であれば、針や正方形タイルは十分に小さいものと考えてください。

回答No.3

kts2371148 · ベストアンサー

にゃんこ先生と名乗るからには、最後のところは、
「必要であれば、針や正方形タイルは十分に小さいものと考えてくださいにゃ。」
としてほしいところでしたね…
（どうでもいいところを突っ込んですいません）

それはともかく、(2) が解けましたので、回答します。

直線 x = … , -2d , -d , 0 , d , 2d , … を引きます。
一辺の長さ k の正方形をばらばらに落とします。
（k < d/√2 とします）
落ちた針の中央部のＸ座標が u 、角度が θ であったとします。
ここで、0 ≦ u ≦ d/2 の範囲を考えれば十分ですので、そうします。
このとき、落ちた正方形はたくさんある平行線のうち、少なくとも x = 0 にしか交わらないはずです。
交わるための条件は、

u + k√2 cos(θ + π/4) ≦ 0 または
u + k√2 cos(θ + 3π/4) ≦ 0 または
u + k√2 cos(θ + 5π/4) ≦ 0 または
u + k√2 cos(θ + 7π/4) ≦ 0

となります。落ちた場所が u であるとき、交わる確率を P(u) とおくと、

0 ≦ u < k/2 のとき、
　P(u) = 1
k/2 ≦ u ≦ k/√2 のとき、
　P(u) = 8/2π Arccos( u√2 / k )
k/2 < u ≦ d/2 のとき、
　P(u) = 0
となります。

そして、上記の確率は 0 < u ≦ d/2 の範囲内で落ちた場所が u であるときの
交わる確率ですから、全体の確率は、

∫[u = 0 ～ d/2] P(u) dt　/ {d/2}
= 4k / πd

となります。

字数制限のため省略している部分が多々ありますので、疑問点などありましたら補足下さい。
(3) , (4) も、積分さえクリアすれば解けそうです。
そのときには、またご報告します。

回答No.2

DSPlabo001

ごめんなさい。一辺の長さが１の正方形でしたね。
√2ksinθを積分の間違いでした。

回答No.1

DSPlabo001

＞(2)では、大きにゃ紙に間隔がdの平行線をたくさん引き、一辺の長さkの正方形タイルをばらばらに落としたとき、 正方形タイルが平行線と交わる確率はどうにゃるのでしょうか？

これは、平行線と針のなす角が45°から135°に限定された場合に等しいので、π/4から3π/4までksinθを積分して積分範囲で割って、正方形のタイルが平行線と直交になる領域の長さの期待値を求めて、あとはビュッフォンの針の確率の求め方でおｋ。(1)の問題と積分範囲が異なるってだけの話です。ただし、確率を求めるならkとdの長さで場合わけをした方がいいです。

＞(3)は、(1)の余事象の確率を二乗してさらにその余事象を求めるだけの話なのでは？「交わらない確率の二乗の余事象」で求められそうです。計算はしていないので適当に考えましたが・・・。

＞(4)も、(2)で求めた期待値と(3)の「交わらない確率の二乗の余事象」の考え方で求められるかと思います。