高校数学 積分

質問

∫-1→1 (x+2)log(x+2)dx という問題で、部分積分法で解くのに、解答はx+2を積分して(x+2)^2としています。確かにこれだと、処理が簡単なのですが、1/2x^2+2xとしても微分するとx+2になるのですが、これで計算すると、（面倒くさいやり方ですが）答えが合いません。積分定数はなんでもよいのではないのでしょうか？わかりにくい説明ですみませんが、どなたかわかる方、お知恵を貸してください。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

(x+2)の積分を (1/2)(x+2)^2 としても (1/2)x^2+2x としても同じ結果が得られますよ。

　∫-1→1 (x+2)log(x+2)dx
＝[(1/2)(x+2)^2 log(x+2)](-1→1) -(1/2)∫-1→1 (x+2)dx
＝(9/2)log(3) -2

　∫-1→1 (x+2)log(x+2)dx
＝[{(1/2)x^2+2x} log(x+2)](-1→1) -∫-1→1 {(1/2)x^2+2x}/(x+2)dx
＝[{(1/2)x^2+2x} log(x+2)](-1→1) -(1/2)∫-1→1 {(x+2)^2-4}/(x+2)dx
＝[{(1/2)x^2+2x} log(x+2)](-1→1) -(1/2)∫-1→1 {(x+2)-4/(x+2)}dx
＝(5/2)log(3) -2 +2log(3)
＝(9/2)log(3) -2

　以上のように同じになります。
　試しに、(x+2)の積分を (1/2)x^2+2x+C (C:定数) として部分積分を行ってみてください。Ｃが消えて同じ結果が得られますよ。

　∫-1→1 (x+2)log(x+2)dx
＝[{(1/2)x^2+2x+C} log(x+2)](-1→1) -∫-1→1 {(1/2)x^2+2x+C}/(x+2)dx
＝[{(1/2)x^2+2x+C} log(x+2)](-1→1) -(1/2)∫-1→1 {(x+2)-2(2-C)/(x+2)}dx
＝(5/2+C)log(3) -2 +(2-C)log(3)
＝(9/2)log(3) -2

お礼

お忙しい所、詳しく計算していただき、大変助かりました。自分がどこでつまずいていたか、よくわかりました！本当にありがとうございました。また、私で役に立つことがあれば（多分、なさそう・・汗）是非、力になりたいです。感謝です！

回答No.1

postro

矛盾なく計算していれば、必ず合うはずです。
合わないならどこかに計算間違いがあるはずです。
捕捉に計算内容を書いていただければチェックできるかもしれません。

お礼

必ず合うと言われ、自信が湧いてきて、落ち着いて計算しなおしたら、合いました！チェックまでしていただけるなんて、言っていただき、本当に嬉しかったです！見ず知らずの私に親切に指導していただいた事、深くお礼を述べたいです。ありがとうございました！