水圧の問題についておしえてください。

質問

水圧の問題です。
水槽内で水圧は水深にのみよるので同じ深さの点では水圧は
同じです。
そこで、同じ形状の２つの水槽を用意し同じ深さの点に
側面に大きな穴と小さな穴をそれぞれに開けます。

このとき、２つの水槽の水の飛距離はどうなるのでしょうか。
理由とともに教えてください。
私はまず
1、 両方同じと考えました。
　　水圧が等しいので同じになると考えました。
結果を求めネットでさがしてみたところ
2,　大きいほうがよく飛ぶ
　　http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/labo/water.htm
　　　　でした。
でも、ホースの先を細めるとむしろよく飛ぶ事例を
思い出し、いろいろ混乱したので実際に実験してみたところ
３、小さな穴のほうがよく飛ぶ結果が得られました。

上記の考えのどこが間違いなのかも教えてもらえると、非常に助かります。（ホースの事例と同じと考えてよいのかも実はわかっていません。）

よろしくお願いします。

回答No.3

masa2211

http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/labo/water.htm
の内容ですが、思考順序が混乱しているとしか言いようがありません。
思考順序、なんだけど、
(1)式～(3)式は、どれも表現形式が違うだけで実質的には同じもの。
ですので、まずは(3)式　　ベルヌーイの定理　　と (6)式　連続の式　　があって、その結果が(7)式。
池にあいた穴、というのは大抵の場合池の面積に比べ小さいから、(7)式でなく(5)式で十分近似できる。
よって(5)式で計算する。
ただし、穴の直径が非常に小さい（1ミリとか。）場合、ベルヌーイの定理の仮定（完全流体）と現実の水の
性質が合わなくなるから補正が必要。それが(9)式。
と、こういう順序でないと変です。
※(9)式については正しいかどうか保留します。穴が小さい場合、表面張力のほか粘性も考慮する必要があるであろうため。

穴の大きさがそれなり（数センチ以上）であれば、(5)式（最悪でも(7)式）で問題ないはずです。
で、「穴の大きさが池面積に比べそれなりに大きい場合」は、池の水位低下が早いから計測困難。上記HPでも、
穴が大きい場合の実験までしている形跡なしです。（穴が非常に小さい場合の実験は行っている。）
すから、上記HPの内容とは、実は「穴の大きさと飛距離は条件が極端な場合を除けば関係ない」なのです。
※それでも、「大きい穴の方が飛距離が大きいという結果」と、最初に書かれている。
　これは、穴が１ミリくらいの場合を指して数ミリになれば穴の大きさに関係なくなるという意味で書いたのか、
　穴が１センチくらいまでは関係があって、大きい穴の方が飛距離が少し大きいだけ、という意味なのか不明。
　こういうところは定量的に書いてほしいな。コメント入れにくいです。
※※水力発電や用水路の計算の場合、数ミリというのはありえないため、(5)式（最悪でも(7)式）で全く問題ありません。
　　具体例：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3352280.html
　　事例に応じた式の補正は行っていますが、これって実質的には(5)式に管の長さに関連する補正を加えただけですよ。

N64さん回答No.1の補足
>水槽１つで同じ高さに、二つ穴をあけて実験
これは、(5)式で正しい、という結論を出したい場合のやりかたです。
(7)式が正しく(5)式ではダメ、ということを調べるのなら、この方法では絶対にダメです。
というのは(7)式の元はあくまで(3)式。それと(6)式を連立させた結果が(7)式なので、
２つの穴の合計面積に対するｒを求め、そのｒを(7)式に使わないとならないのです。
また、(5)式と(7)式の差は、かなり大きい穴にしない限り差が出ないし、大きい穴の水位低下はすばやいので
飛距離の計測困難。水を補給し、水位一定に保ちながら実験するしかないです。
※実は、そのときに加える水が持っているエネルギーこそが、(7)式のほうが水が飛ぶエネルギーの供給元にあたります。）

＞蛇口から出る水のホースの先を細くすると水が勢いよく飛び出す現象
＞＞管の内壁との摩擦ロスによる。摩擦ロスは流量が小さいほど小さい。
そういう現象もあるでしょうが、それでも、蛇口における水圧は1～5気圧はあるはずです。
（最低1気圧ないと、4階からは水が流れないことになる。幅が大きいのは、地形の高低の影響をモロに受けるため。）
で、水道管を破裂させれば、5気圧なら計算上50ｍ吹き上がります。
本管が破裂した場合にそうならないのは、N64さん回答のとおり。
ただし、枝管が破裂した場合は、ホースの先を細くしてその先から水が出るのと同じことなので、かなり吹き上がります。
ホースの場合。蛇口を全開にしましたか？　していないものとみなします。
そうすると、蛇口を通過する際に圧力がガクンと落ちます。だから、ホースの水はあまり飛びません。
更に、ホースの先を細くした場合。
ホースから出る流量が減るから、蛇口を通過する際の圧力低下が減ります。
すると、ホース出口の圧力が上がるから、水は飛ぶことになります。

＞水道の蛇口の先を二股にして短いホースを２本付けます。この２つのホースの一方は吹き出し口を小さくします。
だんだん、条件が複雑になってきました。これ以上ややこしい条件をつけると、
こっちも、「式を書くからあとは計算してくれ」とか言い出しますよ。
さて、上記までは理解できているものとします。
肝心な点：
・蛇口を通過するときに水圧は大きく下がる。
・分岐直前では水圧一定。
・でも、吹き出し口が小さいほうが飛ぶ。なぜか？
その理由：
(3)式は正しい。（管の長さを考えないから、(3)式のｈはゼロと考える。）
分岐直後を考えた場合、
噴出し口が広いほう：分岐直前と分岐直後の流速は、ほぼ等しい。すなわち、分岐前後の水圧は等しい。
噴出し口が狭いほう：分岐直後の流速はゼロに近くなる。すなわち、分岐直後の水圧は、分岐前の流速より高くなる。
※厳密には、分岐における水圧低下とか、管が曲がった場合の水圧低下を考えます。その結果は、
　流速が遅いほうが水圧低下も少ない、となります。式は面倒なので省略。
あとは、分岐直後とホース先端で、もう１回(3)式を適用すれば、圧力の高いほうが放流流速が速い、という結果が得られます。
※間違っても、5)式や(7)式で計算してはダメ。(3)式and(6)式まで戻らないとなりません。
※※流速が圧力に転換するといっても、その圧力はタカが知れています。ですから、水道管本管ならたいした影響はないのですが、
　　「蛇口を通過するときに水圧は大きく下がる」ので、圧力低下が無視できなくなります。

補足

masa2211様、ご回答ありがとうございます。

二股にした場合など、複雑なことをいってしまいすみませんでした。
最初は簡単な問題から入ったのですが、いろいろな現象を定性的に説明できるかを
考えているうちにかなり複雑なものになってしまいました。

まず、池に穴を空けた場合については、(極端な場合を除けば)穴の大きさによらず飛距離は一定である、と理解しました。

次に、蛇口から出る水のホースの先を細くすると水が勢いよく飛び出す現象について理解したいと思っています。
そのためにmasa2211様のお話を整理したいです。

> 水道管を破裂させれば、5気圧なら計算上50ｍ吹き上がります。
> 本管が破裂した場合にそうならないのは、N64さん回答のとおり。
> ただし、枝管が破裂した場合は、ホースの先を細くしてその先から水が出るのと同じことなので、かなり吹き上がります。

Q1.「水道管の本管が破裂した場合には、N64様のお話のように管の内壁との摩擦ロスが原因で圧力低下が起こる。しかし、枝管が破裂した場合はその摩擦ロスが少なく、圧力の低下も少ない。」と理解して良いのでしょうか？

この理解で正しいとすると、もう少し具体的に教えて欲しいのですが：
Q2.水道管の本管では管の内壁との摩擦ロスが大きいのに、枝管の場合ではそうでないのはなぜですか？

Q3「ホースから水を出す場合は、枝管が破裂した場合と同様であるから管の内壁との摩擦ロスは無視できる。よって、ホースの先を細くすると遠くへ飛ぶことの、主たる原因は(N64様のお話のような)管の内壁との摩擦ロスではない」と理解して良いのでしょうか？

> 更に、ホースの先を細くした場合。
> ホースから出る流量が減るから、蛇口を通過する際の圧力低下が減ります。

Q4.「蛇口を全開していない場合において、ホースの先を細くすると、細くしない場合に比べて、ホースから出る流量すなわち蛇口を流れる流量が減るから蛇口を通過する際の圧力低下が減り、水が遠くまで飛ぶ」と理解して良いでしょうか？

この理解で正しいとすると、もう少し具体的に教えて欲しいのですが：
Q5.「蛇口を流れる流量」と「蛇口を通過する際の圧力低下」との間にはどのような関係があるのでしょうか？

Q6.また、その関係には、蛇口を全開にした場合と少し開いた場合とではどのような違いがあるのでしょうか？

まず、以上のことをしっかり理解した上で二股にした場合について考えてみたいと思っています。
よろしくお願いします。

回答No.2

N64

水道もこの実験と同じように、水を貯めた大きな水槽があり、そこから、家庭に配水されています。しかし、水道の水槽は、家庭からかなり遠いところにあるため、非常に長い管で水が運ばれてきます。長い管の場合は、水が流れるときに、管の内壁との摩擦によって、水が抵抗を受け、次第に、圧力が低くなります。このときの、圧力の下がり方は、水が流れる速度の２乗と、管の長さに比例します。そこで、ホースの先を指でおさえて細くすると、その部分で、流れに対する抵抗が、極端に増えるので、管の中の流れの速さは遅くなります。絞れば絞るほど遅くなります。そうすると、流速が遅くなるボで、管の抵抗が小さくなり、小さくなった分だけ、管の中の、手元に近い部分の圧力が、高くなります。完全に塞げば、水が流れなくなります。もし、他の家庭で全く水を使っていなければ、流れが完全に止まった時の、管の中の、手元の圧力は、はるか遠くにある、水槽の水面の高さと同じ圧力になります。ホースの先を指でしぼって、細くすると、このように、管の中の圧力が高くなるので、水の出る速さが早くなります。

補足

早速の回答ありがとうございます。
いままでの疑問がだいぶ整理されて理解できるようになりました。

それと同時にもう一点疑問が沸いてきました。
そこで、次のような実験を行いました。
これはどのように説明されるのでしょうか
よろしくおねがいします。

水道の蛇口の先を二股にして短いホースを２本付けます。この２つのホースの一方は吹き出し口を小さくします。このとき，２つのホースから出る水の勢いはどうなるでしょうか？N64先生のお話に依れば，両者の水の勢いは同じになるはずです。なぜなら，N64先生のお話では，水の勢いの違いについて，摩擦を原因としていますが，その効果は２つのホースにおいて同じだからです：水道局から家庭までの水道管中の摩擦による圧力の減少の効果は，どちらのホースにおいても違いはありません。また，ホース中の摩擦の効果は無視できます：摩擦の大きさは管の長さに比例しますが，ホースの長さは水道局から家庭までの水道管の長
さに比べて十分短いため，ホース中の摩擦の効果は水道管中のそれに比べて無視できます。しかし，実際実験を行ってみたところ，口をつぼめたホースのほうが遠くに飛ぶ結果が得られました。

回答No.1

N64

水槽は二つ用意しなくとも、同じ高さに、二つ穴をあけて実験すれば、水深は、どちらの穴に対しても、同じになりますので、比較しやすくなります。

http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/labo/water.htm
の７式にありますように、この場合は、水槽の直径と、水の出口の穴の直径の比によって、出口からの水の速度は、変わることになります。
７式は、連続性から導かれた式ですから、正しい式です。出口から出た水の体積と、その時、減少した水槽の水の体積とは等しい。これを連続性といいます。

水槽の直径が、非常に大きく、水の出口の直径が非常に小さいと見なせるなら、水の出口の大きさには、関係なく、出口の水の流速が同じですから、飛び方も、細かいことを言わなければ、同じになります。

水槽の直径が、小さければ、水の出口の直径を、ちょっと大きくしただけで、ｒ／Ｒが大きくなりますから、出口の水の流速は、早くなります。極端な例で、ｒ＝Ｒなら、出口からの流速は、無限大になることになります。水は、バンと瞬時に出てしまうことを、示していますが、実際には、他の要素も考えなければいけないので、流速は無限大には、ならないでしょう。

このような場合は、穴が大きいと、水位の低下が早いので、すぐに水の勢いが衰えてしまいます。穴の直径が小さい方が、水の勢いが長続きします。

水槽を二つ用意して実験すると、穴の小さな方が、水の勢いが良いように見えるかもしれません。ですから、水槽を一つにして、二つ穴をあけて比較した方が、正確な比較をすることができると、思います。

補足

ご丁寧な解説ありがとうございます。

早速N64さまに教えていただいた通り、再実験をもうちょっとまともにやってみました。
その結果、水の噴出する勢い(速度)は孔の大きさに依らないという
結果が得られました。

最初の実験は穴の大きさを手で変えていたちょっといい加減な実験
でした。　すみませんでした。

すると一点だけ疑問が残るのですが、
蛇口から出る水のホースの先を細くすると水が勢いよく飛び出す現象は
どのように説明されるのでしょうか。
水道の水圧は一定でしょうからhttp://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/labo/water.htm​
におけるグレアムの法則
によれば水の飛距離はかわらないように思えます。

よろしくお願いします。