濃度について

質問

私は、有理数体と実数体の間にある群で、その濃度がアレフゼロより大きくて、アレフより小さいものはないと思うんですが、そうなんでしょうか？

回答No.3

tecchan22

それならば、「任意の（濃度の）集合に群構造を入れられるか（何らかの演算を入れて群にできるか）？」という問題になると思います。

それがYesならば、やはり、あるともないとも、今の時点では分かりません。（証明されていません）

まず、連続体仮説について、復習します。
集合論の創始者カントールさんは、「アレフ０とアレフの中間の濃度の集合はそもそも存在しないだろう」と、予想したのですね。

そしてそれを何度も証明しようとしたのですが、終に出来なかった訳です。
ということで、連続体「仮説」と名づけられたのですね。

このこと自体は、いまだに証明も否定もされていません。
それどころか、通常の数学上では、どちらとも決められないのでないか、という意見が濃厚です。

と言いますのは、集合論上の種々のパラドックスをきっかけにして、集合をキチンと定義しよう、という動きが活発になり、終にＺＦＣ[ツェルメロ・フレンケルの公理系ＺＦに、選択公理(ＡＣ：Axiom of choice)を加えたもの]という、良い公理形（集合の定義）が整備されたわけです。

しかも、このＺＦＣ上で、自然数やら実数やら、ほとんどあらゆる数学的概念がキチンと定義できる（すなわち、ほとんどあらゆる数学がＺＦＣ上で展開できる）ことから、このＺＦＣ公理系こそ数学の公理系であり、このＺＦＣから、すべての数学的命題が決定（真か偽かを証明）できるのでないか、という雰囲気が出てきました。

ところが、コーエンにより、「連続体仮説」は、ＺＦＣ公理系からは、決定できない（真だと仮定しても、偽だと仮定しても、ＺＦＣと矛盾を引き起こさない）ことが証明されたんですね。

それで、「連続体仮説」は、普通の数学者は、「数学とは独立なことだ」と考える人が多く、集合論学者（の一部）は、それは集合の定義が不十分だからで、もっと集合の定義をきちんとして、どちらかに決定しよう、と研究しているわけです。

ということで、まだあなたの質問の答えは分かりませんが、上の問題がyesならば、あなたの質問は連続体仮説と同値になりますから、「まだ分かっていない」が答えになるわけです。

上の問題がNoの場合、中間の濃度のものはないと証明できる可能性があります。

今の時点で僕が分かるのは以上です。
専門家の方、訂正・フォローお願いします。

お礼

任意の（濃度の）集合に群構造を入れられるとしても、連続体仮説は正しいか間違ってるかまだわかってないわけですね。
詳しく教えてくださってありがとうございました。

回答No.2

tecchan22

(1)連続体仮説を知っている上での質問ですか？知らないでの質問ですか？
(2)間にある「群」とは、その演算は何を想定していますか？有理数体を含み実数体に含まれる集合であれば、演算は自由ですか？それとも通常の加法についての群のみを考えておられるのですか？

連続体仮説を知っている上で、群に限れば、連続体仮説が成り立つのでないか、という質問ですか？

補足

私は、連続体仮説の内容を聞いたことがありますが、それについての詳しいことは知りません。私が知りたいことは、群に限れば、その濃度がアレフゼロより大きくて、アレフより小さいものがあるかという事です。その際、有理数体を含み実数体に含まれる集合であれば、演算は自由です。

回答No.1

Tacosan

それは「連続体仮説」というやつで, ZFC という公理系のもとで決定不能である (つまり, 濃度が N と R の間の集合があると仮定してもないと仮定しても矛盾なく公理系が作れる) ことが既に証明されています.

お礼

ありがとうございました。