サインカーブの長さ

質問

サンカーブのカーブ自体の長さってどうあらわされるんでしょうか？
やはりπとrとでなんとかなるんでしょうか。

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

ｙ＝ｆ（ｘ）
の弧の長さｓは
ｓ＝∫｛a～b｝√｛1+ｆ’（x）＾2｝dx
で求まります
sinカーブの長さは
たとえば、
y=sinx
の1周期分だと、
∫｛0～2π｝√｛1+cos＾2x｝dx
で求まります。
＝∫｛0～2π｝√｛2-sin^2x｝dx
＝1/√2∫｛0～2π｝√｛1-1/2*sin^2x｝dx
を計算すればいいことになります。
これは第二種の楕円積分です。
1/4周期の値は第二種の完全楕円積分
ここからの解説はWikiなどにもあります。
Wikiでは
この積分を求めるにはk^2sin^2θを変数と見てマクローリン級数に展開してから項別に積分すれば良い。
だそうです。

お礼

protoさんの内容を詳しく書いて頂いているのかと認識します。
サインカーブというのは円を描くときの各点の速度みたいに思うのですがそれが「なんとか」ｘπで現せないとは不思議ですね。

回答No.3

Meowth

ちなみに、k^2=0.5 でのE(k)は1.35064です。

回答No.1

proto

例えばy=sin(x)の山１個分(0からπまで)の長さLなら
　　L = ∫[0→π]{√(1+(cos(t))^2)}dt
で表されます。

ですがこの積分自体、簡単な関数で表せないので計算機を使うなどして近似値を求めることになります。

お礼

わあ積分ですか！！　意外に簡単じゃないんですね。ありがとうございます。