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線形代数の部分空間(行空間、列空間、零空間)がわかりません。

  • 質問No.3401468
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お礼率 41% (7/17)

Aの行空間、Aの零空間、Aの列空間、Aの転置の零空間がよくわかりません。

たとえばx、y、z座標において、どのような空間になるのか理解出来ません
色々と調べてはみたつもりなのですが、図として表現されてなくて、言葉だけでは、あまりイメージが浮かびません。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
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ベストアンサー率 62% (328/524)

Aの零空間までは下の説明で良いのですが、行空間の部分を訂正させていただきます。Aの行空間を作る横ベクトルをd,e,fとし内積を(,)とすると Au の成分は (d,u), (e,u), (f,u) となります。すなわちuのd,e,f方向への射影となります。d,e,fのうち一次独立なものが二つしかないときuの成分x,y,zをいろいろ変化させるとAuは一つの平面になります。この平面に垂直なベクトルの集合がAの転置行列の零空間です。これはAの余核(Cokernel)と呼ばれています。

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 62% (328/524)

3×3行列Aが3次元ベクトル空間の間の線形写像を表し、Aの列空間を作る3つのベクトルをa,b,c とします。縦ベクトルuの成分をx,y,z とすると

 Au = xa + yb + zc

これを見るとx,y,zとしてどんな数をとってもAu はベクトルa,b,c の線形結合以外のものになりようがないではありませんか。すなわちa,b,c はAの値域空間を張る基底ベクトルです。次にAの行空間をなす3つのベクトルをd,e,f とし、しかもこのうち1次独立なものが2つしかないとします。するとd,e,f は平面を張り、この平面に垂直な0でないベクトルが存在します。ベクトルu をd,e,fが張る平面に平行な成分v と垂直な成分w に分解します。

 u = v + w

するとAはwを消去しvはd,e,f平面内での1次変換を受けます。wの作る空間がAの零空間(核)でAはuをd,e,f平面内に落とし込んでしまいます。したがってd,e,f もまたAの値域空間を張る基底ベクトルです。a,b,cの中の1次独立なベクトルの数とd,e,fの中の1次独立なベクトルの数は一致し、行列Aのrankと呼ばれます。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 47% (489/1029)

以前にも同様の質問に回答した記憶があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3172845.html
補足コメント
pon-po-po

お礼率 41% (7/17)

ご返答ありがとうございます。

実はあらかじめ、そのリンク先も目を通したんです。
しかし、十分な理解が出来なかったので、改めて質問させて頂きました。

自分自身が勉強不足な面もあると思うのですが、もし上手くご説明して頂けたら、お願いいたします。
投稿日時:2007/10/05 08:34
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