線形代数の部分空間（行空間、列空間、零空間）がわかりません。

質問

Ａの行空間、Ａの零空間、Ａの列空間、Ａの転置の零空間がよくわかりません。

たとえばｘ、ｙ、ｚ座標において、どのような空間になるのか理解出来ません
色々と調べてはみたつもりなのですが、図として表現されてなくて、言葉だけでは、あまりイメージが浮かびません。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

Ａの零空間までは下の説明で良いのですが、行空間の部分を訂正させていただきます。Ａの行空間を作る横ベクトルをd,e,fとし内積を(,)とすると Au の成分は (d,u), (e,u), (f,u) となります。すなわちuのd,e,f方向への射影となります。d,e,fのうち一次独立なものが二つしかないときuの成分x,y,zをいろいろ変化させるとAuは一つの平面になります。この平面に垂直なベクトルの集合がＡの転置行列の零空間です。これはＡの余核(Cokernel)と呼ばれています。

回答No.2

grothendieck

３×３行列Ａが３次元ベクトル空間の間の線形写像を表し、Ａの列空間を作る３つのベクトルをa,b,c とします。縦ベクトルuの成分をx,y,z とすると

　Au = xa + yb + zc

これを見るとx,y,zとしてどんな数をとってもAu はベクトルa,b,c の線形結合以外のものになりようがないではありませんか。すなわちa,b,c はＡの値域空間を張る基底ベクトルです。次にＡの行空間をなす３つのベクトルをd,e,f とし、しかもこのうち１次独立なものが２つしかないとします。するとd,e,f は平面を張り、この平面に垂直な０でないベクトルが存在します。ベクトルu をd,e,fが張る平面に平行な成分v と垂直な成分w に分解します。

　u = v + w

するとＡはwを消去しvはd,e,f平面内での１次変換を受けます。ｗの作る空間がＡの零空間(核)でＡはuをd,e,f平面内に落とし込んでしまいます。したがってd,e,f もまたＡの値域空間を張る基底ベクトルです。a,b,cの中の１次独立なベクトルの数とd,e,fの中の１次独立なベクトルの数は一致し、行列Ａのrankと呼ばれます。

回答No.1

ojisan7

以前にも同様の質問に回答した記憶があります。
↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3172845.html

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3172845.html

補足

ご返答ありがとうございます。

実はあらかじめ、そのリンク先も目を通したんです。
しかし、十分な理解が出来なかったので、改めて質問させて頂きました。

自分自身が勉強不足な面もあると思うのですが、もし上手くご説明して頂けたら、お願いいたします。