サインコサインタンジェント、の問題。

質問

三角形ABCにおいて、
AB＝7cm　AC＝6cm　cosA＝3/4である。
BCの長さは、√【】であるか。

あのう、コサインは、底辺/斜辺ではないのですか？
だから、7/6ではないのでしょうか・・・。わかんない。

それと、何と何の情報が分かっていれば、この情報が分かる、っていうのがわかりません。

例えば二辺とその間の角が分かるから、【】を使ってもう一つの辺を求められる、とか・・・

教えてください。

回答No.2

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

余弦定理は既に学習済みと思われます。
頂点A、B、C、の対辺を、a,b,cとするのが（約束）です。
　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　・ ○・
　　　　　　　　・　　　　　　・　　　　
　　　　　c=7　　　　　　　b=6　　　　
　　　　・　　　　　　　　　　　　・
　　・　　　　　　　　　　　　　　　・
Ｂ　　・　　・　　・　　a ・　　・　　Ｃ

　(a^2)=(b^2)+(c^2)-2bcCosA・・・（１）
残りの二つは同形です。
　(a^2)=36+49-2*6*7*(3/4)
　(a^2)=36+49-63=22
　BC=a=√22
代表的な二辺挟角（二辺とその間の角）です。

　二辺挟角でない場合（二辺と他の角）でも、
　出題されます。
　たとえば、a=√22、b=6、cosA＝3/4
　と与えられると、
　22=36+(c^2)-9c となり、
　二次方程式を解いて、
　(c^2)-9c+14=0, 　c=2,7と二解がでます。

（１）を変形した公式、
　cosA=[(b^2)+(c^2)-(a^2)]/2bc　（他の二つは同形）。

　三辺が与えられると、cosA,cosB,cosCは全て算出できます。
　A,B,Cに関しては、三者が全て求められる問題もあります。
　ただし、その場合は三辺の値が全ては整数とはならないので、
　計算は、やや面倒かも知れません。

　一つの角が算出できる、覚えている数値の組は、
　7,8,3、7,8,5、7,5,3・・・ですが、
　7,8,5の組は、名古屋（７５８）の三角形と呼ばれるそうで、
　何処かの角が６０度になるはずです。

これらの記述が、
　＞＞何と何の情報が分かっていれば・・・。
　に対する回答のつもりですが、
　全てを言い尽くす事は無理のようです。

特に、
　どのような時に、正弦定理、余弦定理を使うか。
　という疑問があるにしても、
　新スレッドを立てても、芳しい回答は困難と思われます。
　ある程度の問題をこなした後が良いと思います。

お礼

丁寧な回答、ありがとうございます。
あの、再びの質問で申し訳ないのですが、二角と一辺の長さが分かるときに、もう一辺の長さを求めるには、正弦定理を使うのでしょうか？
△ABCにおいて、∠A＝45°　∠B＝120°　BC＝√3このときACの長さは何でしょうか？
という問題です。
でも、正弦定理で使うsin120の値が分からないし・・

お願いします。

回答No.5

Ichitsubo

>直角三角形以外の三角形のコサインは、どうやって求めるのでしょう。
疑問に思うことはよいことです。
しかし、この問題を解くのにそんなことは分からなくたって解けます。

なお、正確なサイン、コサイン、タンジェントの定義は、
三角形ではなく円で考えます。
http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuu.html

なお、この問題のcosAを考えようとするならば、
点Cから線分ABに向かって垂線をおろすか、
点Bから線分ACに向かって垂線をおろすかして、
図中に直角三角形を作ってやりましょう。

回答No.4

daikaisan

補足
△ABCにおいて、∠A＝45°　∠B＝120°　BC＝√3このときACの長さは何でしょうか？
SIN45=COS45=1/√2
SIN120=SIN(180-120)=SIN60=√3/2
COS120=-COS(180-120)=-COS60=-1/2・・・キチンとおぼえとかなくちゃ
この90-a,180-a の三角比の公式は、正弦・余弦定理の問題を解くのに必須だよ。
これを解くには、正弦・余弦どっちの定理かな
角度が２つでてきていたら、正弦定理だと判断しておおむね良子ちゃん。
正弦定理でごー

√3　　　b
-----=------ b...すなわちAC　　これでとけるよ
SIN45　SIN120

老婆心です。
SIM45など分数ですから、このまま入れると繁分数となり数学難民のひとたちはこまるかも。
ということで、代入する前にXがけ(たすきがけ)
√3 X SIN120 = b X SIN45 と式変形をしてから代入しましょう。

急いで書いたのでで書き込みミスがあったらごめん

回答No.3

daikaisan

>それと、何と何の情報が分かっていれば、この情報が分かる、っていうのがわかりません。

三角形の辺の長さと三角比といえば、とりあえず正弦定理か余弦定理だよね。

余弦定理で求められるかを頭のなかで確認すると
余弦定理でもちいられている変数　a b c COSX
問題では、c=7 b=6 a=? で　COSもあるので、
おそらく、余弦定理でとけるんじゃないかとして取り組むわけです。
b~2 +c~2-a^2= 2xbxcxCOSA
OO + OO -??=2 xOOxOOx00
??以外が数字に置き換えられるとシュミレートするわけです。

おまけ
辺AB-->c
辺BC-->a
辺CA-->b と正弦定理のabc に図を描かなくとも変換できますか
やり方はかんたん　ABC　で　不足のものにおきかえる
辺AB だと、ABC で　C が欠けています。欠けているものにすればいいのです。

補足
サイン、コサインの値は－１から１の範囲です。
注意　タンジェントは∞です。ここをまちがえたらだめよ。

回答No.1

Ichitsubo

>あのう、コサインは、底辺/斜辺ではないのですか？
いいえ違います。
直角三角形においては言えますが、それ以外の三角形には当てはまりません。
三角関数の定義を考えましょう。定義を理解していないので混乱します。中途半端な理解は禁物です。

>だから、7/6ではないのでしょうか・・・。わかんない。
三角関数はその定義から必ず、-1≦cosθ≦1が成り立ちます。
なのでむしろ逆に、cosAが7/6ではないことが容易に判別できます。

この問題は余弦定理の問題ですよ。教科書の余弦定理の部分を読んで、素直に解いてみましょう。

お礼

余弦定理の公式に当てはめれば、答えは√22と分かりますが・・・
このコサイン3/4は、どうやって求めたのでしょうか？
直角三角形以外の三角形のコサインは、どうやって求めるのでしょう。
コサインが１より必ず小さくなるなんて知りませんでした。

ありがとうございました。