運動方程式の立て方がわかりません。(急いでます。)

質問

よく出てくる問題だとは思うのですが・・・
　　　　　　　　　　　　┃
　　　 　┏━━━━┃━━━━━━━━━━━━
　ｂ　　 ┃　　　　 　　┃　　　　　　　　　　↑
　 ┏━ / S 　　　　　┃　　　　　　　　　　｜
┏━┓ ┃　　　　　　┃#2　　　　　　　　　｜
┃Ｅ ┃ ┃ａ　　　　　┃　　　　　　　　　 　ｄ　　
┗━┛ ┃　　　　　　┃　　　　　　　　　　｜
　 ┃　 ┃　　　 　　　┃　　　　　　　　　　｜
　 ┗━┃←―ｘ―→┃　　　　　　　　　　↓
　　　　 ┗━━━━ ┃━━━━━━━━━━━━ ＃１(導線)
　　　　　　　　　　　　┃
Ｓ：スイッチ

磁束密度Ｂの方向は画面の外から中へ進む方向

一方が短絡された間隔ｄ[m]、抵抗０の十分長い平行導線に、
質量ｍ[kg]、単位長当たりの抵抗ｒ[Ω/m]の可動導線＃２をのせ、
空間的に一様な磁界中においている。

摩擦は無視できるとし、導線に流れる電流による磁界は印加磁界を
乱さないとする。Ｅは直流電源の電圧(物理的大きさは無視)

(1)＃２をx=x0に固定し、印加磁束密度が時間ｔで
B(t)=B0{1-exp(-at)} ,a>0
のように変化するとき＃２に流れる電流とその向きを求める。

(2)十分時間が経過した後(t→∞)、＃２を可動状態にし、
スイッチＳをｂ側につけた(電源につけた)。この瞬間＃２が動き始め、
スイッチを倒してからＴ秒後に速度ｖとなった。
＃１と＃２によって作られる閉回路に誘起される起電力を、B0とｖを
用いて表し、＃２に流れる電流と働く力を求める。

(3)諸速度を０として(2)の速度ｖを求め、その概略図を描く。

どのように運動方程式をたてればいいのかわからないので
教えてください。(作図もこれが限界です。)
助けてください。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

お返事が遅くなりました。
まずsakuhana1106さんが主張される解の検討から行いますが、その解が正しいかどうかは元の微分方程式に当てはめてみればすぐ分かります。まずはご自身で検算してみてください(*1)。(私は答えを書く際に、元の微分方程式に当てはめて検算しています)

sakuhana1106さんはおそらく、一般の線形一階微分方程式
y'+p(t) y = q(t)　　(11)
を解く場合の公式のことを仰っているのだと推測いたします。以下はその前提で回答します。

与方程式の各項にexp(∫p(t)dt)を乗じると
exp(∫p(t)dt) y' +p(t) exp(∫p(t)dt) y = q(t) exp(∫p(t)dt)　　(12)
となり、積の微分の公式を使って
(d/dt)(y exp(∫p(t)dt)) = q(t) exp(∫p(t)dt)　　(13)
と書き換えられます。よって
y exp(∫p(t)dt) = ∫[q(t) exp(∫p(t)dt)]dt +C　　(14)
となるのが公式の意味です。

今回の問題について数字を当てはめてみます。解くべき方程式は
v' +v(d B0^2)/mr = E B0/mr　　(15)
ですから、
p(t)に当たるものは　d B0^2/mr　　(16)
q(t)に当たるものは　B0 E/mr　　(17)
で、いずれも定数です。
(14)に題意の数字を代入すると
v exp[(d B0^2/mr)t]=(B0 E/mr) (mr/d B0^2) exp[(d B0^2/mr)t]+C
すなわち
v exp[(d B0^2/mr)t]=(E/d B0) exp[(d B0^2/mr)t]+C
よって
v=(E/d B0)+C exp[-(d B0^2/mr)t]　　(18)
を得ます。
t=0でv=0の初期条件を適用すると、C=-E/(d B0)であることが分かります。
よって答えは
v=(E/d B0) - (E/d B0) exp[-(d B0^2/mr)t]
　=(E/d B0){1 - exp[-(d B0^2/mr)t]}　　(19)
となって私の最初の解答と同じ結果になります。
「⇔」という独自の記号を使って書いておいでですが、記号の定義がありませんから何を表現しようとしているのか他の人には分かりません。このような記法は、人に読んでもらう答案では少なくとも避けるべきです。
推測でお答えしますと
--------
で、残りの{∫Q*exp(∫Pdt) dt+c}
={∫(B0E/mr)*exp(∫(dB0^2/mr)dt) dt+c}
=(B0E/mr)∫exp((dB0^2/mr)t) dt+c　　←「exp(dB0^2/mrt)」と書いては誤り!!
ですよね？
--------
の後、
(B0E/mr)*(mr/dB0^2)exp((dB0^2/mr)t)
と式変形した時に積分定数cを勝手に省いているために答えが合わないのです。上でも書きましたが「⇔」という意味の曖昧な記号を使っていることが一因になっています。
「=」を使って、「何と何が等しいのか」を意識しながら式変形をすればcを書き忘れることもなく
(B0E/mr)∫exp((dB0^2/mr)t) dt+c
=(B0E/mr)*(mr/dB0^2)exp((dB0^2/mr)t) +c
となって、これの各項に=exp(-(db0^2/mr)t)を掛けることで
v=(E/d B0) +c exp(-(db0^2/mr)t)
と求めることができます。積分定数cの決定法は上と全く同じで、結局同じ答え
(E/d B0){1 - exp[-(d B0^2/mr)t]}　　(20)
が得られるはずです。

答えが合わない問題はこれで解決しましたが、参考までに申し上げますと今回の問題は、係数がすべて定数ですからより簡単に解くことができます。(初歩段階の物理で出てくる微分方程式の大半は定数係数です。変数係数の微分方程式が出てくることは稀です)

問題の微分方程式は本質的に
A(1-By)=y'　　(21)
という形をしています。ここでA, Bは定数です。ｙは変数ｔについての関数とします。
(1)では左辺の第一項にA、すなわち定数である項が存在するのがいやらしい点です
(非斉次方程式などという)。もしこの定数項がなければ
-ABy=y'　　(22)
という簡単な方程式になって、直ちにy=C exp(-ABy)と解くことができます。そこで
この項をなんとか無くして(22)の形に持ち込めないか考えてみます。

もしある定数P, Qが存在して、与方程式を
P(Q-y)=(d/dt)(Q-y)　　(23)
の形に持ち込めるなら、Q-yを新しい変数(たとえばｚ)と置くことで(22)に帰着して解
くことができます。
(23)は直ちに
P(Q-y)=-y'　　(24)
と書き直せますから、(21)と(23)をにらみ合わせて
P=-AB　　(25a)
PQ=-A　　(25b)
が分かります。すなわち(21)は
-AB((1/B)-y)=(d/dt)((1/B)-y)　　(26)
という方程式に直せます。
(1/B)-y=zと置くと
-ABz=z'　　(27)
なので、直ちにz=C exp(-ABt)と解かれます(Cは定数)。
ｙについての式に直すと
y=(1/B)-z
　=(1/B)-C exp(-ABt)　　(28)
t=0でy=0であるという初期条件を適用すると、C=1/Bと分かります。よって答えは
y=(1/B)(1-exp(-ABt))　　(29)
です。

繰り返しになりますが、微分方程式の詳しい解法について知りたければご自身で教科書類を読んで頂き、それでも疑問点があるのであれば、補足欄に次々と質問を書くのでなく新たに別項の質問として立てて下さい。(そのほうが私以外の方の目にも留まり早く回答がもらえます)

回答No.1

Umada

(1)閉回路においてその中を貫く磁束φが変化すると、それを妨げようとする方向に起電力が生じます。これはいいですよね?
この時に発生する起電力の大きさは
dφ/dt　　(1)
で与えられます。
磁束φは磁束密度×(閉回路の)面積ですから、今の場合はx0 d B(t)です。
(1)に代入すると、dとx0は時間不変の定数ですから
dφ/dt=a d x0 B0 exp(-at)　　(2)
を得ます。回路内の起電力はこれだけですから、電流は閉回路の抵抗値、すなわちrdで割ればよいわけです。
答えは
{a x0 B0 exp(-at)}/r　　(3)
です。
電流の向きですが、B(t)=B0{1-exp(-at)}は時間とともに(画面手前から画面中の向きの)磁束が増加することを意味しますから、これを妨げる方向に電流が流れると考えればよいのです。すなわち閉回路を左回りに流れます。

(2)起電力の大きさがdφ/dtで求められることは上と同じです。ただしこの場合、磁束密度BはB０で一定で、その代わり閉回路の面積が変化することに注意して下さい。φ=d x(t) B0を(1)に代入すると
dφ/dt=d B0 (dx/dt)
　　　=d B0 v　　(4)
棒の進む速度vはdx/dtにほかならないことを思い出して下さい。(なお図面で右向きをxの正方向にとっています)
閉回路内を貫く磁束は増えますから起電力はそれを妨げる方向に生じます。即ちこれも左回り(導線2について言えば下から上)です。
一方電源の電圧はEです。問題ではEの向きが与えられていないようですが、回路を右回りに流れる方向を正方向にとることにしましょう。
このときの閉回路中の起電力は
E - d B0 v　　(5)
であり、閉回路中の抵抗はrdですから、電流は
(E - d B0 v)/rd　　(6)
と求められます。(電流も右回りを正の向きにとっています)
導線2に関する運動方程式ですが、電流を流したことで導線が磁界から受ける力(の大きさ)は電流×磁束密度×導線長さですから
B0(E - d B0 v)d/rd
=B0(E - d B0 v)/r　　(7)
と求められます。

(3)棒に着目して運動方程式を立てます。
棒に働く力はB0(E - d B0 v)/rですので、
B0(E - d B0 v)/r=m(d^2x/dt^2)　　(8)
と運動方程式を立てられます。右辺の(d^2x/dt^2)はお分かりかと思いますが、導線の位置x(t)の時間での2階微分です。
ここで加速度(d^2x/dt^2)は速度vの微分ですから、
B0(E - d B0 v)/r=m(dv/dt)　　(9)
と方程式が立てられます。ごく簡単な線形1階微分方程式です。(微分方程式の解き方についてここで細かく説明することはできませんので必要なら適宜教科書類を読んでみてください。線形1階ですから簡単に解ける方程式です)
結論から申し上げますとこの運動方程式の解は
v={E/(d B0)}(1-exp[-{(d B0^2/(mr)}t])　　(10)
と求められます。(初速度=0、すなわちt=0でv=0も考慮しています)
時間tの経過とともに、一定の速度v=E/(d B0)に漸近していく曲線です。EやらB0やらゴチャゴチャ入っているので少し分かりにくいですが、要はv=A(1-exp(-Bt))型のグラフです。
グラフを描く時には漸近する値(v=E/(d B0))と、時定数がmr/(d B0^2)であることをきちんと示すことが肝要です。((t=mr/(d B0^2))でグラフの値が1-1/e≒0.632..になることをグラフに描き添える)

速度v
↑
│
├　─　─　─　─　─　─　　漸近値 E/(d B0)
│　　　　　 　 ＊
├　　　＊　　　　←漸近値の(1-1/e)倍　約63.2%
│　＊
│＊
└───┴─────→時間t
　　　　↑
　　　mr/(d B0^2)

考え方はこれでよいはずですが、細かいところで計算を間違えている可能性があります。sakuhana1106さんご自身でも計算をチェックしながら読んで頂ければ幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
質問があるのですが、（１０）の出し方なのですが、

P(t)=dB0^2/mr
Q(t)=B0E/mr
とすると

v=exp(-∫Pdt){∫Q*exp(∫Pdt) dt+c)}　　c:const.
これに代入してみたのですが・・・・

exp(-∫Pdt)=exp(-∫dB0^2/mr)dt=exp(-db0^2/mrt)

でいいのですよね？
で、残りの{∫Q*exp(∫Pdt) dt+c)}
{∫(B0E/mr)*exp(∫(dB0^2/mr)dt) dt+c)}
⇔(B0E/mr)∫exp(dB0^2/mrt) dt+c)
ですよね？

⇔(B0E/mr)*(mr/dB0^2)exp(dB0^2/mrt)
⇔(E/dB0)exp(dB0^2/mrt)

・・・・
値が一致しないのです。
どこで間違えてますか？