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プランクの放射式
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ははあ,そういうことですか. それなら, (a) Tを sweep して U の値を数値積分で求める. で,実験値と比べればOK. はじめは荒く sweep して,近いところをまた細かく sweep すればよい. つまり,T 対 U の数表を作るようなものです. 能率良くやるなら2分法で幅を狭めていけばよいですね. (b) 120 nm というと,hν/kT = h/λkT で温度に換算すると10万度くらいですか. 温度 T が10万度よりずっと大きければ, 積分領域は t << 1 ですね. したがって,t = 0 周りの展開を使って t^3/(e^t-1) ≒ t^2 - (t^3 / 2) で積分を解析的に実行すればよい. 第1項だけとって大体十分でしょうが,第2項が今の近似への補正の目安を与えます. 逆に T が10万度よりずっと小さいのなら,積分領域は t >> 1. t^3/(e^t - 1) = t^3 e^(-t)/{1 - e^(-t)} ≒ t^3 e^(-t) + t^3 e^(-2t) と展開して積分を解析的に実行すればよい. ここでも,第2項が今の近似への補正の目安を与えます. 積分値の実験値がわかっているのですから, ちょっと電卓叩けば(b)のどちらのケースかわかりますが, ちと面倒になってきました. あとはおまかせしましょう. (b)の方が利口なやりかたですね.
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- siegmund
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プランクの放射式は, 振動数がν~ν+ dνの間にある放射エネルギー密度I(ν)dνである, というものですね. I(ν)は hbw さんの書かれているように I(ν) =(8πhν^3/c^3)*(1/((e^(hν/kT))-1). です. だから,λ1 から λ2 までなら,ν2 = c/λ2 から ν1 = c/λ1 までで U = ∫{ν2 ~ ν1} I(ν) dν を計算すればよい. ν = c/λ ですから,νとλの大小関係は逆転していますね. それで,積分が ν2 から ν1 までです. さて,指数関数の肩のところを hν/kT = t とおくと,積分が簡単な形に整理できて U = (8π k^4 T^4/c^3 h^3) ∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt になります. t2 と t1 は,それぞれ ν2 と ν1 に対応します. t は エネルギー hν をエネルギー kT で割った量ですから 物理的次元のない量ですね. で,∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt は残念ながら解析的にはできません. でも,λ1 = 120 (nm) と λ2 = 180 (nm) は決まっているのだから, 温度を決めれば t2 と t1 は決まりますね. つまり,∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt は単なる数値を与える積分に過ぎません. 具体的には,T を決めて(つまり t2 と t1 を決めて)数値積分をすればよい. なお,全波長について積分すれば(νがゼロから無限大), t2 = 0,t1 = ∞ で, 定積分は π^4/15 になることが知られています. つまり,定数部分をσに押し込めてしまうと U = σT^4 になっていて, これは Stefan-Boltzmann の法則ですね. 式は間違っていないと思いますが,念のためチェックしてくださいね. タイプミス,なんて可能性もあるので.
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補足
回答ありがとうございます. siegmundさんの説明してくださったとおりなんですが, 実はその温度Tを求めたいのです. 積分値は,実験で求めていまして,160*10^6J/m^2なんですよ. でそれから,プラズマ温度を見積もろうと思ってるのですが・・・