楕円

質問

楕円の２つの焦点と楕円上の点との和と長軸の長さが等しくなるのは、どうしてなのですか？

回答No.1

gatch_ky · ベストアンサー

「楕円上の点」として長軸の端を考えて見てはどうだろう、

回答No.3

aquarius_hiro

dadadadoさん、こんにちは。

楕円というものの定義を何と理解しているかによって、説明の仕方もかわってくるのですが、ご質問文のようになる点の集合を楕円と定義する考え方もあります。

すなわち、
「楕円（だえん）とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。」
（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86 より引用。）
ということです。

二つの焦点をAとB、楕円上の点をPとすると、

　AP+BP=(一定)=Lとおく … (1)

となります。

いまAとBの中間の点をOとし、Pとして、ANo.1さんのご回答のように、長軸の端の点（Bに近いほう）をとると、

　L=AP+BP=AP+BP+(OB-OA)+AP+BP
=AP-OA+BP+OB=OP+OP=2×OP=(長軸の長さ) … (2)

となります。（図を描くとよくわかるので、書いてみてください。）

ついでに、(1)を満たす点の集合の全体が、ちゃんとよく見慣れた式

　(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 …(3)

になることを示しておきます。

点Pを(x,y)、二つの焦点の位置を(c,0),(-c,0)とおきます。この距離がLで一定とすると、ピタゴラスの定理より、

　L=√[(x-c)^2 + y^2] + √[(x+c)^2 + y^2]

が成立つわけですが、両辺を2乗し、
　L^2 = [(x-c)^2 + y^2] + [(x+c)^2 + y^2]
　　　　 + 2√[{(x-c)^2 + y^2}{(x+c)^2 + y^2}]
　　　= 2(x^2+c^2+y^2) + 2√[(x^2+c^2+y^2)^2-4c^2x^2]
右辺第1項と第2項を左辺に移項して2乗すると、
　[L^2 - 2(x^2+c^2+y^2)]^2 = 4[(x^2+c^2+y^2)^2-4c^2x^2]

以下省略しますが、整理すると、(x^2+c^2+y^2)^2 が打消しあい、x^2の項、y^2の項、定数項をまとめると、
　(4L^2-16c^2)x^2 + 4L^2 Y^2 = L^4 - 4L^2c^2
となり、右辺が1になるように割ってやると、
　(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
の形にまとまります。ただし、ここで、
　a = L/2 … (4)
　b = (L/2)・√[1-(2c/L)^2] …(5)
とおきました。 この(3)は 2a=L ということで、(2)と一致しています。

ちなみに、離心率と呼ばれる数 e は、
　e=[√(a^2-b^2)]/a …(6)
で定義されますが、 (4),(5)を代入して整理すると、e=c/a が得られます。

すなわち、焦点の座標は、離心率を用いると、
　(ae,0), (-ae,0) … (7)
となります。

逆に、楕円を、適当な座標軸に対して、(3)と書けるものと定義し、(6),(7)を焦点の座標と定義すると、(1)のように二つの焦点からの距離が一定になることが示せます。（以下については、↑を書いているうちに、ANo.2に同じことが書かれてしまいましたが…。）

x>0で考えても一般性を失っていないので、そうします。楕円上の点Pを(x,y)としたとき、焦点からの距離の和は、
　√[(x-ae)^2+y^2] + √[(x+ae)^2+y^2] … (8)
となりますが、この√の中はそれぞれ
(x±ae)^2+y^2 = [a ± ex]^2 … (9)
と書くことができ、これを(8)に代入して、a>x>ex>0 を用いて絶対値をとると、
　a-ex + a+ex = 2a = (一定)
となることが証明できます。

[附録]
(9)の計算は次のようにします。(3)より、
　(x±ae)^2+y^2=　(x±ae)^2+b^2[1-(x/a)^2]
　　= [(1-(b/a)^2]x ±2aex + a^2e^2 +b^2
これは、(6)より、
　e^2x^2 ± 2aex + a^2 = (ex±a)^2
に等しくなります。

回答No.2

fuuraibou0

楕円上の任意の１点をＰ(ｘ,ｙ)，焦点をＦ，Ｆ’として、
楕円の長短軸を２ａ，２ｂ とすると，離心率 ｅ は，

ｅ＝√（１―ｂ^２/ａ^２）で，

(ＰＦ)^２＝(ｘ－ａｅ)^２+ｙ^２，　
(ＰＦ’)^２＝(ｘ＋ａｅ)^２+ｙ^２

また、楕円の方程式より、ｙ^２＝ｂ^２(ａ^２－ｘ^２)/ａ^２
＝(１－ｅ^２)(ａ^２－ｘ^２)

∴　(ＰＦ)^２＝(ｘ－ａｅ)^２＋(１―ｅ^２)(ａ^２－ｘ^２)
　　　　　　 ＝(ａ－ｅｘ)^２

|ｘ|≦ａ，０＜ｅ＜１ であるから ａ－ｅｘ＞０，ゆえに

(ＰＦ)＝ａ―ｅｘ，同様に (ＰＦ’)＝ａ＋ｅｘ，

よって，(ＰＦ)＋(ＰＦ’)＝２ａ になります。