永年行列方程式の解法について

質問

T+1　　　T0 T-1
T+1 |　1/3-Ei　　0　　　　E |
T0 |　0　　　-2/3D-Ei　　0 |　　=　0
T-1 |　E　　　　0　　　1/3D-Ei 　　　　 |

この永年方程式を解くと

Ez=-2/3D
Ey=1/3D+E
Ex=1/3D-E

とあるのですが、どのように解いたらよいのでしょうか？
3×3行列の解法で解くとすると(1/3-Ei)( -2/3D-Ei)( 1/3D-Ei)-( E)( -2/3D-Ei)( E)=0
を解くのでしょうか？
一筋縄ではいかなかったのですが、Ex、Ey、Ezのxyzがどのように決まるかについても
どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.3

101325 · ベストアンサー

ANo.1 を回答したものです。お返事が遅れてすみません。

永年方程式
　(1/3D-Ei)( -2/3D-Ei)( 1/3D-Ei)-( E)( -2/3D-Ei)( E)=0
は ( -2/3D-Ei) でくくれば
　( -2/3D-Ei){(1/3D-Ei)(1/3D-Ei) - E^2}=0
になりますので、これを Ei について解けばよいです。
この３次方程式の三つの解が固有値です。

それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めるには、連立１次方程式を解きます。詳しくは、線形代数学の教科書（「行列と行列式」という書名かも知れません）をご覧ください。大学１年次の数学の授業で使用したものをお持ちのことと思います。

ANo.1 の回答にある「行列の対角化を使って解くと云々」というのは、すみません、かんちがい回答なので忘れてください。手計算には不向きです。

お礼

101325さま

ご教授ありがとうございます。
教えていただいている立場ですので、101325さまの時間があるとき
で一向に問題はありませんし、ご回答いただけるだけで幸いですので
気になさらないで下さい。

おかげさまで固有値を求めることができ、固有値に対する固有ベクトル
も求めることができそうです。

しかし依然として求めることができた固有値Eiの
Ex、Ey、Ezへの割り振り方法は理解できていません。

何かルールでもあるのでしょうか？
いろいろ教えていただいてあつかましいとは思いますが、
もしご存知でしたらご教授くださいませんでしょうか。

回答No.4

101325

> 固有値EiのEx、Ey、Ezへの割り振り方法

理論的な根拠に基づいて割り振ってるのではなくて、慣習でそのように割り振っていると理解していいと思います。

いぜん二量子遷移の話をしたときにご紹介したパワーポイントのスライド（Forb_Trans.ppt）をお持ちでしたら、その13枚目のスライドに三重項ナフタレンのエネルギー準位図が載っていますので、ぜひご覧ください。
準位図のゼロ磁場のところが、今の話のエネルギー準位に対応します。x軸方向に磁場をかけると、左上の準位図のように、三つのうちの二つのエネルギー準位はシフトしますが、エネルギーが磁場によらない準位が一つあります。このエネルギー準位を Ex と読んでます。y軸方向に磁場をかけると（右上図）、別の準位のエネルギーが磁場によらないことが分かります。これに Ey を割り振ります。残りのひとつが Ez になりますけど、これはz軸方向に磁場をかけたときに、エネルギーがシフトしない準位です。

上で述べたことは、固有値 E_i (i = x, y, z) に対する固有ベクトルが、エネルギーの固有状態であるだけではなく、それぞれ スピン演算子 S_i の固有値 0 に対する固有ベクトルでもあることに関係しています。関係しているのですけど、ちょっと話がむつかしくなりますので、詳細は割愛させて下さい。何かの折りに思い出していただけたなら幸いです、という程度の話ですし。

お礼

101325さま

ご教授ありがとうございます。
なんとなく理解できました。
つまり今回の質問のケースではエネルギーがシフトしない準位は
Ez(z軸方向に磁場をかけた時)ということですね。

後半部分についてはもう少し勉強させていただきます。
今回は親切かつ丁寧に数回にわたりご回答いただきありがとうございました。

またお世話になることもあると思いますが、その時にも是非ご教授
くだされば幸いです。

本当にありがとうございました。

回答No.2

cigue

ANo1.さんと違いどういう問題を解いているのか分かっていませんが・・・
手計算の手法＆なんでそのような考え方をしたのかを書きますと

私ならばまず真ん中のT0を見て、他の項と混ざっていないことを確認して
それがそのまま一つの状態であることを見つけます。

つまり、固有値の一つはE=-2/3D、固有ベクトルは(0,1,0)
これでT0は考えなくて良いので、T0の部分を消してみると
2*2行列になります。

すると、これは対称行列になっているので、固有ベクトルが（1,0,1）と(1,0,-1)であることが想像できます。
ここからEiを決定することが出来ます。

もしも私の知っている量子力学的な話だとすれば、イメージとして
3個の状態があって、通常は対角項がエネルギーとなっている。
これに摂動的にEを加えてみた。
その摂動はT+1とT-1を混ぜる効果があり、混ぜ方は1:1になっている。
T0は混ざることがなくそのままの状態をキープする。

補足

cigueさま

ご助言ありがとうございます。
真ん中のT0を見て、他の項と混ざっていないことを確認とありますが、
-2/3D-Eiの4方が0になっているので-2/3D-Ei=0で解けてしまい、T0は考えなくて良いので、T0の部分を消してみると2*2行列になり、これを解こうとしましたが(1/3-Ei)^2-E^2=0を解くわけではないのでしょうか？

また固有ベクトルがすぐに分かってしまうようですが、POINTなど教えていただけないでしょうか？

イメージは大変参考になりました。
摂動としてEを加えるというところが理解できていませんが、大変ありがたくおもいます。
ありがとうございます。

お時間がおありになるときで良いので、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

101325

# すみません。ちっとばかし忙しいのでポイントだけ。

T+1,T+1 成分が間違ってます。
×　1/3-Ei
○　1/3D-Ei　

T+1, T0, T-1 と x, y, z の関係は、原子軌道の p+1, p0, p-1 と px, py, pz の関係に似ています。

(1/3D-Ei)( -2/3D-Ei)( 1/3D-Ei)-( E)( -2/3D-Ei)( E)=0 を解いてもよいのですが、行列の対角化を使って解くと固有値だけでなく固有ベクトルも求めることが出来ます。
Mathematica などの数式処理ソフトを使ってもいいです。

補足

101325さま

いつもお世話になっています。
ご指摘とご助言ありがとうございます。
残念ながら数式処理ソフトはもっていないので、手計算で何とかしたいと考えています。
(1/3D-Ei)( -2/3D-Ei)( 1/3D-Ei)-( E)( -2/3D-Ei)( E)=0は解けませんでしたので、行列の対角化を用いたいと思っています。

対角化とは対角要素(固有値)以外を0にする操作のことだとおもうのですが、固有ベクトルPが分かればPとP-1で行列を挟み計算すると対角要素が残るわけですよね？
理解していないのがお分かりかとおもいますが、時間があるときでよいのでご助言お願いいたします。