有界の証明

質問

α、β が実数で α＜β ならば、
　ａ＞１　　　のときは　ａ^α＜ａ^β
であることの証明
_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(proof)
ａ＞１のときα＜βなので、　ｒ≦α＜ｓ＜ｔ≦β
のような有理数ｒ,ｓ,ｔが存在し、　ａ^r＜ａ^s＜ａ^t　である。・・・・(1)
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　∴ａ^r≦ａ^α≦ａ^s＜ａ^t≦ａ^β
　　　　　∴ａ^α＜ａ^β
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(q.e.d)

ここで、(1)の証明はしなくてもいいのでしょうか？
また、どのようにすれば求まるんでしょうか？

ある参考書には「既知」となっていたんですが、やはり納得できません。

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

ANo.1です。

> この証明を利用して
> Ａ＝｛２^r ｜ ｒは有理数、ｒ＜√２｝
> が、上に有界となるみたいなんですが、これはどのようにすれば出来るんですかね？？

これはrに上限があるので明らかみたいな話だと思うのですが、きちんと示してみますね。

まず、Aが上に有界というのは、Aが上界をもつということで、
上界とは、任意のb∈Aに対し、b≦mとなる m のことです。

証明したことは、
> α、β が実数で α＜β ならば、
> 　ａ＞１　　　のときは　ａ^α＜ａ^β

なので、a=2には適用でき、実数α、βが、α＜β なら、
2^α＜2^β …(1)
が成立つことがわかったわけです。
ところで、任意のb∈Aは、Aの定義から、r＜√2という有理数rを用いて、b=2^r と書けるわけですが、r＜√2＜2 なので、(1)を用いて、
2^r＜2^√2＜2^2 = 4
が示せて、Aは上界4を持つことがわかり、これよりAは上に有界であることがわかります。

お礼

ありがとうございました。大変助かりました！！

回答No.1

aquarius_hiro

xyz0122さん、こんにちは。

有理数の場合の証明は、問題の証明が登場する前の段階で、どこかで習ったのではないでしょうか。そうでなければ、もちろん有理数の場合の式(1)の証明は必要ですが、ただ、有理数の場合の証明は、実数の場合の証明より、一段階簡単にできます。それで「既知」としているのではないでしょうか。

有理数 r < s について、a^r < a^s になるのは次のように示せます。

有理数なので、通分して、r=m/n, s=k/n, m<k と書くことができます。ここで、m,k,nは自然数です。（面倒なので正の数に限りますね。）

a^{m/n} = (a^{1/n})^m
a^{k/n} = (a^{1/n})^k

ですが、b>1 に対して b^k/b^m = b^{k-m} > 1 より、b^m < b^k がわかるので、b=a^{1/n}ととればこの式を使えて、

a^r = a^{m/n} = (a^{1/n})^m < (a^{1/n})^k = a^{k/n} = a^s

が示せます。

ご質問の問題のように、実数の場合は、無理数のこともあるので、m/n のようすな整数の分数のような形に、指数をかけないわけです。

お礼

遅くなりましたが、回答の方ありがとうございました。
ついでになんですけど・・・・・、

この証明を利用して

Ａ＝｛２^r ｜ ｒは有理数、ｒ＜√２｝

が、上に有界となるみたいなんですが、これはどのようにすれば出来るんですかね？？