エクスポーネーシャル e

質問

っていうのは(1 + 1/n)^nのｎを∞に持っていったときに出来るものですよね～、
たしか2.73・・・・・とかおいう数字に、
なんでこのエクスポーネーシャルという名前が付き特別扱いされるのでしょうか？
また、何故対数のところで
このエクスポーネーシャルが使われるのでしょうか？
対数というのはxを何乗したらyになる、ていうやつの”何乗”に
あたる部分ですよね～？これを式で書くとlogx Yというやつですが、
なぜ底の部分が2.73などという中途半端な数が使われるのでしょうか？
お願いします、

回答No.4

aster · ベストアンサー

exponential は、exponential function の略で、イクスポネンシャル関数とは、「指数関数」と呼ばれるものです。ｅ^x という形が基本ですが、一般に、ａ^x という形をしているのが、指数関数です。

ａ^x という形の関数は、例えば、１０^x だと、ｘが１，２，３，４，５と増えて行くと、急速に数が大きくなります。ａＸｘというような場合とは、増え方が違うので、ラテン語の exponere（膨張する）という動詞から言葉を作って、exponent → exponential としたものです。

指数関数の代表的なもの、基本の形をｅ^x とするのが普通なので、これを、エクスポネンシャル関数と呼ぶのです。

ｅの重要性は、微積分などの代数学で、意味がはっきり出てきます。

対数は、log (a) というような形をしていて、元々、非常に巨大な数のあいだの計算、特に掛け算や、べき乗などの場合、正確に１の桁の数まで出なくてもよいから、大体、どれぐらいの大きさになるのかの見当をつけるために工夫された数です。

例えば、４７５０を２４乗すると、どんな数になるのか、実際に計算すると、たいへん手間ががかかるのです。それを対数で計算すると簡単に、どれぐらいの大きさの数かが出てくるのです。

１０を底とする常用対数だと、log(4750) は、log(4.75)＋log(1000) となり、log(1000)＝３で、log(4.75) は大体０．６７７です。log(4750^24) は、24*[log(4750)] となり、log(4750)＝３．６７７だったので、これを２４倍すると、８８．２４０６ぐらいです。

８８の部分は、１０^88 に当たり、０．２４０６は、１．７４０です。だから、４７５０の２４乗は、１０^88 の１．７４倍ぐらいの大きさだと分かります。

こんな風に巨大な数の計算をするのに便利なのが対数であり、また、対数を使うと、掛け算が対数の足し算になるので、昔は、計算尺などで、対数目盛りを付けて、掛け算を行うのに使いました。いまでも対数グラフというものがあり、大きな数は、対数で表すと分かり易いので使われます。

ｅ＝２．７１８２８１８２８……

という数をなぜ特別扱いするかというと、lim ｎ→∞　で、(1+1/n)^n →ｅとなるのであり、この定義から、ｅ^x という関数は、微分して導関数を求めると、ｅ^x となり、何回微分しても関数の形が変わらないという特別な関数になるからです。

また底をｅとする自然対数が，何故使われるかというと、普通、ｘ^a という関数を微分すると、a*ｘ^(a-1) という形になり、逆に、ｘ^a の不定積分つまり原始関数を求めると、[1/(a+1)]*ｘ^a という形になるのですが、この公式だと、どういう関数を微分すると、１／ｘになるのかが分からないのです。

それはまた、１／ｘという関数の不定積分を行うとどうなるのかが分からないということでもあるのです。しかし、微分して１／ｘになる関数は、実は、log/e/ (x) という、ｅを底とする対数関数なのです。この関数を ln (x) と書くのですが、微積分において、ｅを底とする自然対数が必ず必要になるということを意味しています。

また、指数関数と三角関数（というか、調和振動関数）は、非常に密接な関係にあるのです。

ｅ^x は、普通の指数関数で、ｘが大きくなると、膨張的にというか、指数的に値が大きくなって行きます。三角関数には似ていません。

しかし、何乗という右肩に付ける、乗数が、「虚数」になった場合、不思議な関係が出てくるのです。これはテイラー展開という、関数の級数展開という方法を使うと確認できるのですが、

ｅ^(i*x)＝cos(x)＋i*sin(x)

という関係になっています。

三角関数で、[cos(x)＋i*sin(x)]^n＝cos(n*x)＋i*sin(n*x)

という関係式がありますが、これは、上のｅ^(i*x)＝cos(x)＋i*sin(x) の関係から出てくるのです。

ｅというのは、代数学で、基本的に出てくる定数なのです。ｅを使わないと、微積分が成り立たないのですし、代数学も成り立たなくなるのです。

お礼

回答がおくれてすいません、ありがとうございます、

回答No.3

oshiete_goo

e=2.718281828....
という自然対数の底"e"（ネイピア数：Napier's Number）の話ですね.
注:ネイピアのピは半濁音（ぱぴぷのぴ）です．フォントによって化けているかも知れないので，念のため．

グラフの図形的意味から言うと，指数関数のうち，y=a^x の点(0,1)での接線の傾きがちょうど１であるような定数a=eという表現も出来て，他の方がおっしゃったような性質とこれは結びついています（別の表現です）．
lim_(h→0){(e^h -1)/h}=1　[∵　e^0=1]
というのが上の数式的表現で，他のいろいろな表現と同値であることを示すのは頻出の練習問題ですね．

例えば，図形的観点から1つの例を説明すると，y=e^x　の逆関数としての自然対数y=log_{e}x のグラフはy=e^x と直線y=xに関して線対称の位置関係ですから，y=log_{e}x の点(1,0)における接線の傾きはy=e^x の点(0,1)での接線の傾き1の逆数で，やはり　1/1=1　となります．
lim_(h→0){log(1+h)/h}=1　[∵　log1=0]
のことです．図形的意味の説明はこれでよいのですが，練習問題を解くときは数式だけで導いておいてください．

微積分でなぜ用いられるかは，これ以上は述べませんが，
lim{1+1/(n^2)}^n=?
lim(1+1/n)^(n^2)=?
はどうなるでしょう．定数eの特殊性を理解するためにもしご興味があればお答えください．

お礼

ありがとうございます、計算してみます、
やはり説明してもらうと結構難しかったりしますね、、、、
すいませｎ、

回答No.2

Mell-Lily

底がaである対数関数
　y=log<a>(x)
の導関数を求めてみましょう。まず、
　f(x)={log<a>(x+h)-log<a>(x)}/h=log<a>[{(x+h)/x}1/h]=log<a>{(1+h/x)^(1/h)}.
ここで、
　x/h=z
と置けば、
　f(x)=log<a>{(1+1/z)^(z/x)}=[log<a>{(1+1/z)^z}]/x.
h→0のとき、z→∞ですから、
　y'={log<a>(e)}/x=1/[x{log<e>(a)}].
特に、a=eの時、
　y'=log[e](e)/x=1/x.

次に、指数関数
　y=a^x
の導関数を求めてみましょう。まず、
　x=log<a>(y).
両辺をyについて微分すると、
　dx/dy=1/{ylog<e>(a)}=1/{(a^x)log<e>(a)}.
逆関数の微分法から、
　y'=dy/dx=1/(dx/dy)=a^xlog<e>(a).
特に、a=eの時、
　y'=e^x.

このように、eを用いると、対数関数、指数関数ともに、微分が簡単になるということです。また、
　exponential － 指数の
です。

お礼

回答が遅くなってすいません、ありがとうございます、
結構むずかしいもんですね～
高校を思い出します、

回答No.1

Singollo

y=e^xのときyの導関数がy自身に等しくなるという非常に便利な性質があるからです

お礼

ありがとうございます、