ゲーム理論？ 全く分からず困っています

質問

いつもお世話になっております．

この度は次の問題について質問させていただきます．

問
企業1と企業2は協調することで共同利潤を極大化し，それを半々にシェアしている．2つの企業は互いに裏切らないように引き金戦略を予告し，牽制し合っている．お互い共同利潤を極大化している場合に各々の利潤はπ/2であるとする．この時以下の問いに答えなさい．
(1)割引因子をδ(0<δ<1)として，両者が無期限に協調した場合の各々の利潤を求めなさい．
(2)企業2はt－１期までは企業1と協調するけれども，t期に裏切ることにより，利潤πを全て獲得しようと考えている．ただし，企業2はいったん自分が裏切ると，その語は企業1が報復として引き金戦略をとることにより，競争の結果利潤がゼロとなることを知っている．このとき，企業2が無期限に協調するか，あるいはt－１期まで協調した後にt期に裏切るか，両者が無差別となる割引因子を求めなさい．

このような問題です．いろいろな図書を調べながら，ずっと考えているのですが(1)(2)ともに全く糸口が見つかりません．そもそもδをどう取り扱っていいのかすらわかりません．お分かりの方がいらっしゃいましたら，ヒントをいただけないでしょうか．何卒よろしくお願いいたします．

回答No.1

cimglide · ベストアンサー

無限回の繰り返しゲームで、各期のゲームは、お互い協力すれば利得はπ/2、出し抜けばπ、出し抜かれたり、協力しない場合（競争した場合)利得ゼロという構造ですよね。

(1)について、永久に協力し続ければ、毎回π/2ずつの利得が得られます。
　ここで、1期後の利得π/2の現在の価値は割引因子を乗じて、δ×π/2となり、、2期後はδの二乗×π/2、、、ということで、ｔ期後の利得はδのｔ乗×π/2になります。
　これの総和が求めるべき値で、無限等比級数の和の公式で求められます。

　(2)は、(1)で求めた値と、出し抜いた際の利得の総和（当期π、次期以降はゼロで計算）が等しくなるようなσを算出すればよいはずです

お礼

たいへん丁寧に説明していただき、ありがとうございます。

回答者さまのヒントをもとに計算いたしましたところ
(1)については
1期目がπ/2、2期目がδ×π/2、3期目がδ^2×π/2、・・・t期目がδ^(t-1)×π/2となるので、無限等比級数の和を計算すると、π/2(1-δ)となる。

(2)については、
1期目がπ/2、2期目がδ×π/2、3期目がδ^2×π/2、・・・t-1期目がδ^(t-2)×π/2、t期目がδ^(t-1)×πとなるので、これらの総和はπ(1+δ^(t-1)-2δ^t)/2(1-δ)となる。これと(1)で求めたπ/2(1-δ)をイコールで結んだ結果、δ=1/2のとき無差別になる。

このように計算されました。これであっているのでしょうか？

回答No.2

cimglide

(1)、(2)ともあっていると思います（文字列だと分数の分子・分母が判りにくいので念のため確認ですが、(1)の答えの中の(1-δ)は分母ですよね。）

なお、(2)についてはbsnさんの解法でも問題ないと思いますが（すいません方程式が長いので精査してません）、単純に(1)で得た値＝π（裏切った期（ｔ期）を基準時点としたｔ期以降の利潤の現在価値）という方程式を解いても求まります。

　理由ですが、ｔ－１期までの利潤は、どちらの戦略であっても協調なのでδの値に関わらず同じなので、利潤が変化するｔ期以降だけ考えれば良いからです。また、ｔ期以降だけを比べる場合、1期目現在の価値に割り引いて比較するよりも、t期現在の価値に割り引いて比較する方が楽になります。

お礼

再度ご回答いただきありがとうございます。

>(1)の答えの中の(1-δ)は分母ですよね
そうです。

>単純に(1)で得た値＝π（裏切った期（ｔ期）を基準時点としたｔ期以降の利潤の現在価値）という方程式を解いても求まります。
確かにこちらの考え方は私の解法よりもスマートだと思いました。理由を詳細に書いていただいたために理解し易かったです。

答えの確認までしていただき、何から何までありがとうございました。