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ゲーム理論? 全く分からず困っています

いつもお世話になっております. この度は次の問題について質問させていただきます. 問 企業1と企業2は協調することで共同利潤を極大化し,それを半々にシェアしている.2つの企業は互いに裏切らないように引き金戦略を予告し,牽制し合っている.お互い共同利潤を極大化している場合に各々の利潤はπ/2であるとする.この時以下の問いに答えなさい. (1)割引因子をδ(0<δ<1)として,両者が無期限に協調した場合の各々の利潤を求めなさい. (2)企業2はt-1期までは企業1と協調するけれども,t期に裏切ることにより,利潤πを全て獲得しようと考えている.ただし,企業2はいったん自分が裏切ると,その語は企業1が報復として引き金戦略をとることにより,競争の結果利潤がゼロとなることを知っている.このとき,企業2が無期限に協調するか,あるいはt-1期まで協調した後にt期に裏切るか,両者が無差別となる割引因子を求めなさい. このような問題です.いろいろな図書を調べながら,ずっと考えているのですが(1)(2)ともに全く糸口が見つかりません.そもそもδをどう取り扱っていいのかすらわかりません.お分かりの方がいらっしゃいましたら,ヒントをいただけないでしょうか.何卒よろしくお願いいたします.

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  • 回答No.1

無限回の繰り返しゲームで、各期のゲームは、お互い協力すれば利得はπ/2、出し抜けばπ、出し抜かれたり、協力しない場合(競争した場合)利得ゼロという構造ですよね。 (1)について、永久に協力し続ければ、毎回π/2ずつの利得が得られます。  ここで、1期後の利得π/2の現在の価値は割引因子を乗じて、δ×π/2となり、、2期後はδの二乗×π/2、、、ということで、t期後の利得はδのt乗×π/2になります。  これの総和が求めるべき値で、無限等比級数の和の公式で求められます。  (2)は、(1)で求めた値と、出し抜いた際の利得の総和(当期π、次期以降はゼロで計算)が等しくなるようなσを算出すればよいはずです

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質問者からのお礼

たいへん丁寧に説明していただき、ありがとうございます。 回答者さまのヒントをもとに計算いたしましたところ (1)については 1期目がπ/2、2期目がδ×π/2、3期目がδ^2×π/2、・・・t期目がδ^(t-1)×π/2となるので、無限等比級数の和を計算すると、π/2(1-δ)となる。 (2)については、 1期目がπ/2、2期目がδ×π/2、3期目がδ^2×π/2、・・・t-1期目がδ^(t-2)×π/2、t期目がδ^(t-1)×πとなるので、これらの総和はπ(1+δ^(t-1)-2δ^t)/2(1-δ)となる。これと(1)で求めたπ/2(1-δ)をイコールで結んだ結果、δ=1/2のとき無差別になる。 このように計算されました。これであっているのでしょうか?

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その他の回答 (1)

  • 回答No.2

(1)、(2)ともあっていると思います(文字列だと分数の分子・分母が判りにくいので念のため確認ですが、(1)の答えの中の(1-δ)は分母ですよね。) なお、(2)についてはbsnさんの解法でも問題ないと思いますが(すいません方程式が長いので精査してません)、単純に(1)で得た値=π(裏切った期(t期)を基準時点としたt期以降の利潤の現在価値)という方程式を解いても求まります。  理由ですが、t-1期までの利潤は、どちらの戦略であっても協調なのでδの値に関わらず同じなので、利潤が変化するt期以降だけ考えれば良いからです。また、t期以降だけを比べる場合、1期目現在の価値に割り引いて比較するよりも、t期現在の価値に割り引いて比較する方が楽になります。

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質問者からのお礼

再度ご回答いただきありがとうございます。 >(1)の答えの中の(1-δ)は分母ですよね そうです。 >単純に(1)で得た値=π(裏切った期(t期)を基準時点としたt期以降の利潤の現在価値)という方程式を解いても求まります。 確かにこちらの考え方は私の解法よりもスマートだと思いました。理由を詳細に書いていただいたために理解し易かったです。 答えの確認までしていただき、何から何までありがとうございました。

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