三角関数の置換積分

質問

sin(x),cos(x)の有理関数の不定積分を求める方法で、多くの微積のテキストでは、t=tan(x/2)として、置換積分する方法が紹介されています。
ですが、私にはちょっとこの方法は論理的に少し強引に感じられます。

テキストによると、上の置換で、sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)
dt/dx=(1+t^2)/2と表され、tの有理関数の不定積分に帰着させることが
必ずできると紹介されています。

ですが、t=tan(x/2)とおいてsin(x)などをtで表すということは、tan(x/2)が定義されているような x については可能ですが、例えば、x=πではsin(x)はtでは表されないはずです。
簡単な具体的な例をあげると、sin(x)を不定積分するとします。普通は直接積分するでしょうが、あえてこの方法で置換積分するとして、次の式が（多くのテキストの主張では）成り立ちます。

Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1]

右辺は、-(1-t^2)/(1+t^2)+C (Cは積分定数)の形で求まり、
(1-t^2)/(1+t^2) = cos(x)……[2] だったので、-cos(x)+C と不定積分が求まったかに見えます。
ところが、良く考えると、[1][2]の式はx=(2n-1)π,(n:整数)ではtが定義されないので、成り立ちません。tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、ところどころ不連続な関数（sin(x)を切ったもの）を積分し、不連続な関数（-cos(x)を切ったもの）が得られているだけです。しかも不連続ということは、各開区間で積分定数を独立に取れるので、厄介なことになります。

このあたりの議論を厳密にするにはどうすれば良いでしょうか。

回答No.2

siegmund

問題は置換積分にあるのではなく，積分の定義のあたりにあります．
きちんとやるには，実数の濃度や測度をマスターしたあと，
ルベーグ積分論を勉強しないといけないでしょう．

あらっぽく言いますと高々可算個の点で値が違うだけの２つの
関数は積分すれば同じ，ということです．
高々可算個とは，有限個あるいは可算無限個のことです．
測度ゼロは積分に効かない，という言い方もします．

でも，これじゃたぶんわからないですよね．

だんだん厳密性を欠いて来ちゃいますが，
もうすこし説明してみますか．

積分はもともと
lim(N→∞) (1/N) Σ(from j=1 to N) f(x_j) Δ_j
ですね．
幅Δの区間に分けておいて，その区間での関数の代表値 f(x_j)
と幅を掛けて足し合わせる．
単に足すと分割を細かくするにつれていくらでも値が大きくなってしまうから,
N で割っておくとちょうどよい．
で，最後に N→∞．
この中に一点だけおかしな点があったとします．
関数値が飛ぶとか，定義されていない，とか．
一点だけですから，そういう点を含むのは分割したうちの１区間だけです．
確かにその区間での関数の代表値はどうとってよいかわかりませんね．
でも，たった１区間だけですから，どうとっておいても，
(1/N) と N→∞ で寄与はなくなってしまいます．
こういうわけで，１個だけおかしな点があっても積分には関係ありません．
有限個でも同じ理屈ですね．

おかしな点を，ringo2001 さんの置換がうまくいかなくなる点と
思えばよいでしょう．

おかしな点が無限個あると少し困りますね．
そこらへんちゃんとやるには実数濃度の話が必要です．