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三角関数の置換積分

migeruの回答

  • migeru
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回答No.1

私は、数学専門でないので、はっきりとは言えませんが、tan(x/2)は、x=π のときに、∞となること考慮してはどうでしょうか。 また、非有界関数の積分をするときは、広義積分のこと考えるといいのではないでしょうか? 詳しい事は、その辺の事が書いてある本を見つけて、自分で考察すると良いと思います。

ringo2001
質問者

お礼

回答ありがとうございます。正直言って、自分での考察の限界に来てます。 広義積分というアイディアがなにか参考にならないかと考えてみます。 普通の広義積分は定積分の積分区間を有界閉区間から開区間や無限区間に拡張するものですよね。 ここでは不定積分について考えているので、直接は使えないですが、そういう何らかの置換積分の拡張をしなければならないのではないかと考えています。 質問の中で例示した関数自体は有界な関数です。問題は置換することによって不連続になってしまう(つまり情報が一部失われてしまう)ような場合の処理なんです。 tan(x/2)→±∞ (x→(2n+1)π) (n: 整数)なので、 2t/(1+t^2) → 0=sin((2n+1)π) (x→(2n+1)π) (1-t^2)/(1+t^2) → -1=cos((2n+1)π) (x→(2n+1)π) ですから、この場合は、極限操作で情報は復元できます。 参考書とかにはさらりと書いてありますが、本来の置換積分の適用範囲を逸脱しているのではないかと疑問です。

ringo2001
質問者

補足

質問中の式に一部誤りがあったので、訂正します。 誤 Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1] 正 Integral(sin(x)dx) = Integral( 2t/(1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1] 誤 tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、…… 正 tの式をあえてtan(x/2)で書いてみるとよくわかると思いますが、……

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