物理

質問

極座標表示で、質点にｒ＝ｃθ＾２で表せるようならせん軌道をさせるような中心力とはどのように求めるのでしょうか？ヒントで良いのでください。

回答No.3

siegmund

ecotomed さん：
> 円運動する物体に運動している平面と垂直に等速直線運動(等速でなくてもいいですが)をさせてみてください。
> 螺旋運動しているはずです。

問題の意味はLPレコードの溝，あるいは蚊取線香の渦巻き，
のような平面上の螺旋運動という意味かと思います．

私も基本的に endlessriver さんの方針で良いと思うのですが，
endlessriver さんの ar の式はちょっとミス(ミスタイプ？)があるようです
^で時間微分を表すのはべき乗と混乱しそうなので，
普通に dr/dt などと書くことにします．
２次元極座標表示で，運動方程式の一般形は
(1)　　m{(d^2r/dt^2) - r(dθ/dt)^2} = F_r
(2)　　m(d/dt){r^2 (dθ/dt)} = F_θ
です．F_r と F_θ はそれぞれ力の r 成分とθ成分で，
一般には両方とも r,θの関数です．．
中心力なら F_θ=0，かつ F_r は r のみの関数(θによらない)．
したがって，(2)からは endlessriver さんの言われるように
面積速度一定(角運動量保存)
(3)　　r^2 (dθ/dt) = h (一定)
が出てきます．
この(3)と，与えられた
(4)　　r = cθ^2
とから r(t)，θ(t)を求めて，(1)を使えば F_r がわかります．

回答No.2

endlessriver

r方向とθ方向の加速度は公式より
ar=r^^-rθ^^, aθ=(1/r)(r^2θ^)^....（^は時間微分）
中心力であれば、θ方向の力は０なので、良く知られたように面積速度r^2θ^=const=h
運動方程式は動径方向のみとなり、これから時間を消してrとθの式にすればよい。
r^=r'θ^=r'(h/r^2)....（r'はθの微分。右辺は面積速度一定の式からθ^を消して）
同様にr^^からも時間を消します。これらの式からr=cθ^2によりθの式にしてさらにθからrへの変換をすれば良い。

回答No.1

ecotomed

極座標系への変換などは数学的処理なので言及しませんが、物理的発想だけ…

螺旋軌道を描く運動は基本的に円運動となんら変わりはありません。
円運動する物体に運動している平面と垂直に等速直線運動(等速でなくてもいいですが)をさせてみてください。螺旋運動しているはずです。
なので螺旋起動を描かせるには物体の入射平面上にない点から円運動させるに足る中心力を与えればよいと分かります。
地磁気に突入した荷電粒子が極点方向に螺旋軌道を描いて収束する様子などが参考になるのでは？