全然わかなくて 極限

質問

limf(x)=a (x→∞) の厳密な定義を教えてください。お願いします。

回答No.3

tinantum

文字化けしてました…
「∀ε > 0, ∃ M > 0 s.t. ∀ x ∈ R, M<x ⇒ |f(x) - a| < ε」
です．

回答No.2

tinantum

記号だけで書くと
「∀ε > 0, ∃ M > 0 s.t. ∀ x ∈ R, M<x ⇒ |f(x) − a| < ε」
です．（Rを実数の集合としました）

これは極限の厳密な「定義」でして，定義には証明はありませんよ．

回答No.1

tinantum

x,f(x),aはとりあえず実数と思って説明します．
(本当に厳密な定義を言うためには，f(x),aが何なのか，また，極限の意味が何なのかを指定しない限り決まりません．例えばf(x)やaが距離空間の元でなかったりすることすらしばしばあります．)

普通にε-δ論法で述べると,
「任意のε>0に対し，ある正の数M>0が存在し，M<xを満たす任意のxに対して，|f(x)-a|<εが成立する」
となります．

ニュアンスを込めて言い換えると，
「どんなに小さな精度ε>0を要求されても，十分大きな数Mが存在して，それよりも大きなxでは，f(x)とaは指定された精度εよりも小さな違いしかない」
といった具合でしょうか．

お礼

ありがとうございます。 「」の中を記号で表せますか？ あと、証明があるととてもありがたいんですが。。。贅沢いってすみません。