パーセバルの等式

質問

f(x)=x(π－x) (0<x<π)のフーリエ余弦級数を求めよ。さらにパーセバルの等式を用いてΣ(1/n^4)[n=1..∞]の値を求めよ。

という問題なのですがフーリエ余弦級数はf(x)=(π^2/6)-Σcos2nx/(n^2) [n=1..∞]と出ました(これも合っているか分からないのですが)。この後はどのようにしてΣ(1/n^4)[n=1..∞]の値を求めればいいのでしょうか。

どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.4

gatch_ky

ごめんなさい。
2∫(0→π) f(x)^2 = π^5/15
でした。

もともとf(x)は(0<x<π)で定義していたので
(-π<x<π)に拡張するためにｙ軸で反転してコピーした図形を積分するのです。

フーリエ余弦級数は左右対称な図形でなければ使えないのです。

回答No.3

gatch_ky

∫(-π→π) f(x)^2 = π^5/15
は普通の高校生でやった多項式の積分でいいよ。

お礼

∫(-π→π) f(x)^2dx=∫(-π→π)(π^2*x^2-2πx^3+x^4)dx
=[π^2*x^3/3-πx^4/2+x^5/5] (-π→π)
を計算するということでしょうか。
どうしてもπ^5/15になってくれないのですが。。。
16π^5/15になってしまいます。。。何度もすみません。

回答No.2

gatch_ky

ごめんタイプミス

f(x)=a0*e0 + a1*e1 + a2*e2 + .....+ ak*ek +.....
a0=(π^2/6)*/√2π
ak=-(cos2kx/(k^2)) * √π
と書ける。

回答No.1

gatch_ky

余弦級数は正解。

e0=1/√2π
e1=cosx /√π
e2=cos2x /√π
.......
ek=coskx /√π
.......
と置く。

∫em*en=1 (m=n)
∫em*en=0 (m≠n)　である

f(x)=a0*e0 + a1*e1 + a2*e2 + .....+ ak*ek +.....
a0=(π^2/6)*/√2π
ak=(cos2kx/(k^2)) * √π
と書ける。

↓パーセバル等式
∫f(x)^2 = a0^2 + a1^2 + a2^2 + ...... ak^2 + ....
(左辺) = π^5/15

答えはπ^4/90

お礼

回答ありがとうございます。

(左辺) = π^5/15
というところの計算ができなくて困っています。。