３次元座標から体積を求める参考書

質問

お世話になります。
土木構造物の設計をしています。
複雑な形状の構造物の体積を３次元座標からEXCELで計算しようと思っていますが、体積を求める計算方法がわかりません。
３次元座標の基礎から教えてくれる、わかりやすい参考書があれば教えてください。

回答No.3

noocyte

四面体の体積を求めるもっと簡単な方法がありました．
行列式を使って，

V ＝ (1/6) |det(P2 - P1, P3 - P1, P4 - P1)|

です．

回答No.2

noocyte

> ３次元CADでは、どうやって体積を計算しているのでしょうか。

２次元であれば，断面画像を数値積分して面積，重心，断面１次/２次
モーメント等を計算していると思われるソフトを見かけたことがありますが，
３次元 (体積積分) となると，高精度で計算しようとすると
普通は計算量が膨大になるので数値積分は使っていないと思います．

3D CAD には門外漢ですが，たぶん次のように計算しているのではないかと思います．

・多面体
　四面体に分割して計算しているのではないかと思います．
　四面体 (三角錐) の体積は (底面積) * (高さ) / 3 ですが，
　頂点座標から求めるのはちょっと面倒ですね．

　四面体の頂点座標を P1＝(x1, y1, z1) ～ P4＝(x4, y4, z4) とすると，
　底面 △P1P2P3 の面積は外積を使って，

　△P1P2P3 ＝ (1/2) |(P2 - P1) × (P3 - P1)|

　あとは，底面から P4 までの距離が高さになります．
　(ちょっと面倒なので今回は略．)

・回転体
　パップス＝ギュルダンの定理を使えば，回転軸を通る断面の片側の
　面積Ｓと，重心 (断面の重心であって回転体の重心ではない) の
　回転軸からの距離 Ｒg から，Ｖ＝２π Ｒg Ｓ で求められます．
http://homepage3.nifty.com/sugaku/pappusu.htm

お礼

noocyteさん、ありがとうございます。
どうしても、うまくいかない場合は、四面体でやってみます。

回答No.1

noocyte

２次元座標から多角形の面積を求める公式ならありますが，
３次元座標から多面体の体積を計算する公式はまだ聞いたことがありません．

面白そうなので私も考えてみたいですが，今は時間がないので出発点のヒントだけ．

ガウスの発散定理を使うと，体積積分を面積分に変換することができます．
ベクトル場 A ＝ (Ax, Ay, Az) ＝ (x/3, y/3, z/3) を考えると，

div Ａ ＝ ∂Ａｘ/∂ｘ ＋ ∂Ａｙ/∂ｙ ＋ ∂Ａｚ/∂ｚ ＝ 1

となるので，発散定理を使うと多面体の体積Ｖは，

V ＝ ∫{多面体全体} dV ＝ ∫{多面体全体} div A dV ＝ ∫{多面体全表面} A・dS
　＝ Σ{Si∈多面体の面の集合} ∫{Si} A・dS
　＝ (1/3) Σ{Si∈多面体の面の集合} ∫{Si} (x * dSx + y * dSy + z * dSz)

あとは各面の面積分ですが，これが厄介そうですね．

ガウスの発散定理 [物理のかぎしっぽ]
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/GaussDivTheorem/

"ガウスの発散定理" で検索
http://www.google.co.jp/search?q=%22%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86%22&sourceid=navclient-ff&ie=UTF-8&rls=GGGL,GGGL:2006-34,GGGL:ja

ちなみに「"ガウスの発散定理" "多面体の体積"」で検索すると，１件しかヒットしませんでした．
http://www.google.co.jp/search?q=%22%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%AE%9A%E7%90%86%22+%22%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93%E3%81%AE%E4%BD%93%E7%A9%8D%22&sourceid=navclient-ff&ie=UTF-8&rls=GGGL,GGGL:2006-34,GGGL:ja&aq=t

お礼

回答ありがとうございました。
体積を出すのは、相当難しいみたいですね。
３次元CADでは、どうやって体積を計算しているのでしょうか。