• ベストアンサー

積分がわかりません

いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。 まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。 次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。 次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。 分母が2つの掛け算ならば部分分数にできるのですが3つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。 次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。 最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。 分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。 部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。 よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね?? でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。 どこが間違ってるのかわかりません。 以上長いですが教えていただけたら幸いです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

順に: 2t×log(1+t) で部分積分 t = sin x とおいて置換積分 1/[x(1-x)(1+x)] = a/x + b/(1-x) + c/(1+x) と部分分数に分解 同じく 1/[x(x^2 - x + 1)] = a/x + (bx +c)/(x^2 - x + 1) と部分分数に分解 log の真数の分子と分母に 1 + sin x を掛けてみる

amel10
質問者

補足

回答ありがとうございます。 最初の問題の部分積分ですが、自分もやってみましたがどうもきれいになりません。 どうやればいいんですか??

その他の回答 (2)

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.3

長いので最後だけ。 |(1+sinx)/(1-sinx)|の分子・分母に1+sinxを掛けると |(1+sinx)^2/(cosx)^2|=|(1+sinx)/cosx|^2 となるので、logの前に掛かっている1/2をlogの中に入れると、 log|(1+sinx)/cosx|になる。

  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.2

>最初の問題の部分積分ですが、  ∫2tlog(1+t)dt=t^2log(1+t)-∫{t^2/(1+t)}dt         (t^2を1+tで割って)         =t^2log(1+t)-∫{(t-1)+1/(1+t)}dt         =・・・・  となりますね。

amel10
質問者

お礼

なるほど。 ありがとうございました !!

関連するQ&A

  • 不定積分

    ∫cos^2x/(1+sinx) dx という問題があるのですが模範解答は分子を1-sin^2と変形して 約分をし簡単な形に持っていく形式を取っています。私もこれは理解できます。 答え、x+cosx+C 私は違うやり方でやってみたのですが答えが合わずしかも納得がいかないという 悪循環になってしまいました。 下に私のやった方法を書くので間違いを指摘していただければと思います。 ∫cos^2x/(1+sinx) dx sinx=tとおくと cosxdx=dtだから与式は ∫cosx/(1+sinx) dt =∫t'/(1+t) dt =∫(t+1)'/(1+t) dt =log|t+1|+C =log(sin+1)+C お願いいたします

  • 三角関数の積分

    1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx  cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。

  • 積分 問題 1/sinx について

    積分 問題 1/sinx について ∫(1/sinx)dxについて。 ∫(1/sinx)dx=∫(sinx/1-cos^2x)dxとする。 cosx=tの置換と部分分数分解を用いて、 1/2(log|(1-t)/(1+t)|)+C まで求めました。 結果、1/2(log|(1-cosx/(1+cosx))|)+Cとなると思います。 テキストの回答が、1/2(log(1-cosx/(1+cosx)))+C と絶対値無しで記載されているのですが、絶対値は必要無いのでしょうか? なぜ絶対値が外せるのでしょうか? (logx)’はlog(-x)’と同じなのでlog|x|’としていると考えているのですが、 絶対値はあっても無くても良いのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • この積分の問題教えてください

    この問題の答えが無いので教えてください。 自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか? ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx tan(x/2)=t とおくと、 dx=2/(1+t^2) dt cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) となる。 置換した後の積分範囲は、 x|0→π/2 t|0→ 1 ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx = -2∫[0,1] 1 / t^2-2t-1 dx   分母を平方完成して = -2∫[0,1] 1 / (t-1)^2-2 dx  公式:∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log|x-a/x+a|なので =1/√2 log|(-√2-1) / (√2-1)| logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。 教えてください。

  • 積分 問題

    積分 問題 ∫(1/cos^3x)dxについて、テキストの回答が理解できません・・・ ∫(cosx/cos^4x)dx =∫(cosx/(1-sin^2x)^2) sinx=tとおいて ∫(1/(1-t^2)^2)dx =∫(1/((1-t^2)(1+t^2)))dx としているのですが、(1-t^2)^2=(1-t^2)(1+t^2) となる理由がわかりません。 ∫(1/((1-t^2)(1+t^2)))dx =∫1/4{(1/(1+t)^2)+(1/1+t)+(1/(1-t)^2)+(1/1-t)}dx と部分分数分解しているのですが、どのように行えば上記のように部分分数分解出来るのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 三角関数の積分について

    ∫1/(sinx)^3dx これを置換せずに積分することは可能でしょうか? 似た形で、例えばチャートには ∫1/sinxdx これを置換積分を利用して解いていましたが、実際分母分子にsinxをかけた後分母の1-(cosx)^2を部分分数分解すると分かれた二項がともにf'(x)/f(x)の形になり、きれいに [1/2log(1-cosx)/(1+cosx)] とすることが出来ました。同様にして3乗でも出来ると思ったのですが途中で詰まってしまいます。3乗になるとまた話が別なのでしょうか?アドバイスお願いします!

  • 数III 定積分の問題

    以下の定積分の問題が上手く問けません。 ∫{0→π/2}√(1+sinx)dx というものなのですが、 1+sinx=tとおいて置換積分をすると dx=dt/cosx となって、tとxが一緒に出てきてしまいってどうしたら良いか分からず、sinx=tとおいても同じような結果になってしまいました。 π/2-x=tとおいてもsinがcosに入れ替わっただけになってしまい、煮詰まってしまいました。 ヒントや考え方の指針でも良いので教えて頂けると嬉しいです。

  • 積分

    微分について誰か教えてください。 できれば、チョー詳しく。 (1)  π/3 ∫ [{sinX・(cosX)^2}/(1+cos) ]dx   0 cosX=tとおくと、dt/dx=-sinXまでしかわかりません。 (2) ∫ {dx/(x^2‐2x-3)}   1/(x^2-2x-3)=1/(x+1)(x-3) までしかわかりません。

  • 不定積分

    毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。 ・∫tan^2x dx t = tanx と置くと 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt = ∫(tan^2x) 2tanx dt = 2∫t^3 dt = 2 X t^4/4 = tan^4x /2 ・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx dt/dx = 2x + 2 dx = 1/(2x + 2) dt 与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt =log|x^2 + 2x + 5| 一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。

  • 数学 積分法

    数学でわからない問題があります。 cos^3xsinxを積分したいのですが、うまくいきません。 私が考えたのはこういうものです。 sinx=tとおく。cosxdx=dt cos^3xsinx=cos^2xcosxsinx また、cos^2x=1-sin2xより ∮cos^3xsinx dx=∮(1-t^2)t dtとなる。 よって1/2t^2-1/4t^4+Cより 1/2sin^2x-1/4sin^4x+C (Cは積分定数) こうしたのですが違いました。 cosx=tとすると解答と一致し、 -1/4cos^4x+C となりました。 sinx=tのやり方のどこが間違っているのかわかりません。 教えてください。