経済数学の微分

質問

とても困っています。
経済数学の問題で、
問題1はy=(xの6乗+5xの3乗+2x)の7乗です。
あともう一つは、y=eの-x+1乗-eの3x+4乗です。
この、eの意味もよくわかりません。
（ワードだったら数式書くの簡単なんですけどね・・・）
よろしくお願いします。

回答No.5

Paxil · ベストアンサー

Paxil です。どうぞご遠慮なく。

　y=log(1+x^2+x^4)の微分ですね。これも、合成関数の微分を使います。

z=log(x) の微分はz'=1/xとなります。そこで、この問題ですが、

　y'=(2x+4x^3) * ( 1/(1+x^2+x^4) ) = (2x+4x^3) / (1+x^2+x^4)
　　　^^^^^^^^
となります。波線部は 1+x^2+x^4 の微分ですね。

　そうですね、解答をそのまま書いてどうかという問い合わせですが、
答えだけはやはりまずいですから、「合成関数の微分より」とか「積の
微分法から」と一言入れて、あとは数式を書いていけば充分ではないで
しょうか。それ以上書こうとすると、積の微分法の公式の説明になって
しまいますから。
　しかし、いずれにせよ、経済学の勉強をされているのでしょうから、
今後のことを考えると一応、「合成関数の微分法」と「積の微分法」の
２点は調べておいた方がよいと思います。

補足

ありがとうございました。
私、商なもので・・・。
四則演算は得意なんですけど・・・。
本当にありがとうございました。

回答No.4

Paxil

#1のPaxil です。早速のご反応、ありがとうございます。

　補足でお問い合わせの件は、積の微分法について調べるとわかります。
つまり、y=f(x)g(x)に対して、y'=f'g + fg'となります。
これも高校の微分積分の教科書に載っています。

　そうすると、y=(3x-1)e^(-x^3+x)の（x に関する）微分y'は

　　y'=3e^(-x^3+x) + (3x-1)(-3x^2+1)e^(-x^3+x)
　　　　　　　　　　　　　 ^^^^^^^^^
になります。波線部は、e の肩に乗っている(-x^3+x)の微分ですね。

補足

ありがとうございます。
申し訳ないのですが、もう一問お願いいたします。
y=log(1+x^2+x^4)をよろしくお願いします。

また、ここに載っている数式のまま、回答に書いていいのでしょうか？
もうちょっと解き進んで(？)から書いた方がよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

ymmasayan

No.2ですがミスがありました。

＞ｄｙ／ｄｕ＝ｄ（ｕ＾７）／ｄｕ＝７＊ｕ＾６＝７＊（ｘ＾６＋５ｘ＾３＋２ｘ）

ｄｙ／ｄｕ＝ｄ（ｕ＾７）／ｄｕ＝７＊ｕ＾６＝７＊（ｘ＾６＋５ｘ＾３＋２ｘ）＾６
でした。失礼しました。

回答No.2

ymmasayan

いろんなとき方がありますが、一応２つとも置換積分で解きましょう。
（１）まず（）の中をｕとおきます。
　　　すると、答えは（ｄｙ／ｄｕ）＊（ｄｕ／ｄｘ）です。
　　　ｄｙ／ｄｕ＝ｄ（ｕ＾７）／ｄｕ＝７＊ｕ＾６＝７＊（ｘ＾６＋５ｘ＾３＋２ｘ）
　　　ｄｕ／ｄｘ＝（６ｘ＾５＋３＊５ｘ＾２＋２）
後は出来ますよね。

（２）ｅは自然対数の底で２．７１８２８１８２８・・・
　　　それは別としてｅ＾ｘをｘで微分してもやっぱりｅ＾ｘという不思議さ。

　　　今度は指数部をそれぞれｕとｖとおきましょう。
　　　ｄｙ／ｄｘ＝ｄ（ｅ＾ｕ）／ｄｕ・ｄｕ／ｄｘ－ｄ（ｅ＾ｖ）／ｄｖ・ｄｖ／ｄｘ

　　　ｅ＾ｕとｅ＾ｖは微分してもそのままです。
　　　ｄｕ／ｄｘ＝－１　ｄｖ／ｄｘ＝３　ですから

　　　ｄｙ／ｄｘ＝－１＊ｅ＾（－ｘ＋１）－３＊ｅ＾（３ｘ＋４）

回答No.1

Paxil

y=f(g(x)) に対する微分について調べてみてください。合成関数の微分法
といいます。
　また、y=e^x(eのx乗) は、微分してもy'=e^xとなる特別な関数です。

　いずれも、高校の微分積分の範囲の教科書に載っています。

(1) y=(x^6 + 5x^3 + 2x)^7 に対して

　y'=7(6x^5 + 5*3x^2 + 2)(x^6 + 5x^3 + 2x)^6
　　=7(6x^5 + 15x^2 + 2)(x^6 + 5x^3 + 2x)^6
となります。

(2) y=e^(-x+1) - e^(3x+4) に対して

　y'=-e^(-x+1) - 3e^(3x+4)

となります。

補足

ありがとうございます、
では、y=(3x-1)e^(-x^3+x)の場合はどうなるのでしょうか？
よろしくお願いします。