微分の逆数は？

質問

基本的な質問で恐縮なのですが、考えても分からなかったのでお願いします。
∂ｙ/∂ｘ＝ｚ　のとき、∂ｘ/∂ｙ＝－１/ｚ　になるようなのですがこれは何故でしょう？今考えてる問題は偏微分なのですが、別に普通の微分でも同じことになると思います。
できれば、数学的な証明だけでなく直感的な解説をいただけるとありがたいです。

回答No.1

banakona

∂ｙ/∂ｘ＝ｚ　だから　　ｙ＝ｘｚ　　∴ｘ＝ｙ／ｚ
よって　∂ｘ/∂ｙ＝１/ｚ　
じゃないかな？　マイナスは不要では？

＞直感的な解説

おおまかに言うと、∂ｙ/∂ｘはｘの変化率に対するｙの変化率。つまり　　Δｙ/Δｘ
この値をＣ とおく。∂ｘ/∂ｙはｙの変化率に対するｘの変化率。つまり　　Δｘ/Δｙ
だから１／Ｃ 。ご質問の問題は定数Ｃ が変数ｚになっただけ。
で、どうでしょう。

お礼

すばやいご回答ありがとうございます。
でも、読んでアレッっと思って質問の間違いに気づきました。
申し訳ないです。
そのような感じの直感的解説を補足の質問にもしていただけるとありがたいです。

補足

ごめんなさい！質問が間違ってました。
1/x∂y/∂x ＝ -x∂y/∂x
が何故だろうという疑問でした。全然違いますね・・・。
なんとなく、偏微分の変形でマイナスがつくのが昨日分からなかったなぁ、というウロ覚えで書いてしまって、本当に申し訳ありません。
改めてお願いいたします。