どうしてそうなるのか

質問

こんばんは。
ベクトルの問題で
aベクトル=(3,-4,12),bベクトル=(-3,0,4),cベクトル=aベクトル+tbベクトル　について、ｃベクトルとaベクトル、ｃベクトルとｂベクトルのなす角が等しくなるような実数tの値を求めよ。とうものがあって、
解答が（以下t以外の文字ベクトル）
a,b,c　は0ベクトルでないから、cベクトルとaベクトル、cベクトルとbベクトルのなす角が等しくなる条件は、
c・a/lcllal=c・b/lcllbl　　　よって
lbl(a+tb)・a=lal(a+tb)・b
lbl(lal^2+ta・b)=lal(a・b+tlbl^2)

で次になぜこうなるのかがわかりません・・・

ゆえに、tlbl(a・b-lallbl)=lal(a・b-lallbl)←？
t=lal/lbl=13/5(答)です。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞｜ｂ｜［｜ａ｜｜ａ｜＋ｔｂ・ａ］　＝｜ａ｜［ａ・ｂ＋ｔ｜ｂ｜｜ｂ｜］

｜ｂ｜｜ａ｜｜ａ｜＋ｔ｜ｂ｜［ｂ・ａ］＝｜ａ｜［ａ・ｂ］＋ｔ｜ａ｜｜ｂ｜｜ｂ｜
移項して、
ｔ｜ｂ｜［ｂ・ａ］－ｔ｜ａ｜｜ｂ｜｜ｂ｜＝｜ａ｜［ａ・ｂ］－｜ｂ｜｜ａ｜｜ａ｜

左辺は　ｔ｜ｂ｜で括り、右辺は｜ａ｜で括って、
ｔ｜ｂ｜（ｂ・ａ－｜ａ｜｜ｂ｜）＝｜ａ｜（ａ・ｂ－｜ｂ｜｜ａ｜）

ｂ・ａ＝｜ａ｜｜ｂ｜のとき、ａとｂのなす角度は０度で、不適。
両辺を（ａ・ｂ－｜ｂ｜｜ａ｜）で割って、
ｔ｜ｂ｜＝｜ａ｜

＞＞ａ＝(3,-4,12)、ｂ＝(-3,0,4)
｜ａ｜＝１３、｜ｂ｜＝５

５ｔ＝１３
ｔ＝１３／５　としてあります。

お礼

まとめてのお礼失礼します。
なるほど。みなさんのおかげでわかりました。
ありがとうございました。＾－＾

回答No.2

Mr_Holland

lbl(lal^2+ta・b)=lal(a・b+tlbl^2)
⇔|b||a|^2+t|b|a・b＝|a|a・b+t|a||b|^2
⇔t|b|a・b-t|a||b|^2＝|a|a・b-|b||a|^2
⇔t|b|(a・b-|a||b|)＝|a|(a・b-|a||b|)

　ベクトルａとｂは平行でないので、a・b≠|a||b|
∴t＝|b|/|a|＝13/5

回答No.1

felon

lbl(lal^2+ta・b)=lal(a・b+tlbl^2)
コレを展開して整理した式が、
tlbl(a・b-lallbl)=lal(a・b-lallbl）
ですね。