円の内接四角形

質問

皆様、こんにちは。

幾何の問題なのですが、

『向かい合う角の和が180度の四角形ＡＢＣＤにおいて、
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣを、四角形ＡＢＣＤが円の内接四角形だという事実を用いずに証明できるでしょうか？』

よろしくお願いします。

回答No.2

zarbon · ベストアンサー

円に内接する四角形がらみの事は、相似を利用すると良いです。

ACとBDの交点をE, ABとCDの延長上の交点をPとします。
向かい合う角の和が180度より∠ABC = ∠PDA, ∠BCD = ∠PAD.
よって2組の角がそれぞれ等しいので、△PAD∽△PCB.
よってPA : PC = PD : PB ⇔ PA : PD = PC : PB …(1)
△PBDと△PACにおいて、(1)と∠APDが共通より△PBD∽△PAC
ゆえに∠ABD = ∠ACD…(2)
ゆえに△ABEと△DCEをみて∠BAE = ∠CDEが言えます.
(終わり)

お礼

どうもありがとうございます！

まさに相似を使った解法を知りたかったのですが、
ネット上にも載ってなくて困っておりました。

>ACとBDの交点をE, ABとCDの延長上の交点をPとします。

私はここも思い付かなかったです。
どうもありがとうございました。

回答No.1

mmk2000

＞向かい合う角の和が180度の四角形ＡＢＣＤ

この条件だけだと、仮に「四角形ＡＢＣＤが円の内接四角形だという事実を」使っても∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣは導けないはずですが…

何かもうひとつ条件はありませんか？

補足

ご回答どうもありがとうございます。

>何かもうひとつ条件はありませんか？

実は自分で考えた問題なのですが、
(1)『四角形が円に内接する』⇔『向かい合う角の和が180度』
(2)『四角形が円に内接する』⇔『等しい弧の円周角が等しい（この場合は∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ）』
ということなので、

当然
(3)『向かい合う角の和が180度』⇔『等しい弧の円周角が等しい（この場合は∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ）』
も成立するだろうと思ったのですが、

「→」がなかなか示せません。
ちなみに「←」はできました。

何か他に気になる点、間違っているところなどありましたら何でも言ってください。
それでは引き続きよろしくお願いします。