整級展開（答えは分かるんですが；）

質問

log{(1+x)/(1-x)}を整級展開せよ。

…という問題ですが答えは
2{x+x^3/3+^5/5+…+x^(2n+1)/(2n+1)…}　と出たのですが途中過程がごちゃごちゃしてしまって分かりづらくなってしまいました。
誰か解き方(過程)をきれいにまとめていただけませんか？

回答No.2

zk43

log{(1+x)/(1-x)}=log(1+x)-log(1-x)
である。

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…
log(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-…

log{(1+x)/(1-x)}=log(1+x)-log(1-x)
=2x+2x^3/3+2x^5/5+…
=2(x+x^3/3+x^5/5+…)

お礼

zk43sありがとうございます。
何とかきれいな解答が作れそうです。

回答No.1

angrox

ln(1+x)のマクローリン展開をするのは大丈夫ですね。これをａとします。(lnx=自然対数)
次にａのxを-xに変えます。この答えをｂとして、ｂにマイナスをかけてａからｂを引くと質問の答えが出ます。
ちなみにlnxを手計算で求めるときはこれを使うとかなりの精度で近似値が出ます。

お礼

angroxさん、ありがとうございます。
これを参考に改めて解き方をまとめていきたいと思います。