三角比の拡張

質問

わからない問題があります。三角比の問題で、0°≦0≦180°の時に次の不等号のみたす0の範囲を求めよ。(1)sin0>√3/2　(2)tan0≦－1　とあって答えは(1)60°<0<120°　(2)90°<0≦135°とあるのですが、どうしてこうなるのか理解できません。このときのtan0が傾きになるということもよく意味が分からず困っています。ここを飛ばしたら正弦定理と余弦定理は理解できませんよね？

回答No.5

Mr_Holland

＃３です。
　補足を拝見しました。
　リンクを全部見られたのですね。
　あたなの頑張りに協力できればと思います。

＞この不等号の向きのときに（他の不等号のときも）なぜこの範囲になるのかがわかりません。例えばsinθ＝√３/２ときのsinθというのは、X軸に平行になるように引いた垂線ですよね。そして、√３/２とは60°と120°のこと。それで、これを不等号にしたときに、なぜ垂線と角度で不等号が成立するのかが理解できません。

　前回リンクで張ったものの一つである次のサイトで一緒に考えて見ましょう。
http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/webMathematica/HighSchool/tri_graph/shisaku23-2.jsp

　ここで、問題(1)「sinθ>√3/2」の条件となるように、「＞」と「√3/2」を設定します。
　すると、赤い横線が出てきて、ｙ＝√3/2　の直線を表しています。
　求める不等式の条件は、sinθ＞√3/2　ですから、sinθは赤い線より上になければなりません。
　そこで、ｙ＝sinθ　のグラフ上で赤い線より上にある部分を区別するために青色で塗ってみます。この青で山になっているところが、sinθ＞√3/2　を満たす部分です。
　さて、問題は、その条件を満たすθを求めることですから、今度はグラフを縦に見ます。
　青線の左部分は、ご存知の通り　π/3(=60°）に対応し、右側は2π/3(=120°)に対応しています。
　そして、上の山になった青線部分は、そのままπ/3から2π/3までの範囲で連続して続いていますから、θ軸上の該当する部分を、これも青色で塗っていきます。（青く細い下向きの矢印がこれに該当します。）
　この範囲が、sinθ＞√3/2　を満たすθの範囲になります。

　逆に考えると、π/3＜θ＜2π/3　であれば、必ず、sinθは√3/2より大きいことが分かってもらえるのではないかと思います。

　なお、ここまでの考え方では、θを　０≦θ＜２π　の範囲で制限してありますので、もし制限がなければ、２πごとに同じように、不等式　sinθ＞√3/2　を満たしますので、θの範囲が　π/3+2nπ＜θ＜2π/3+2nπ　(n:整数)　となることに注意してくださいね。

　分からなければ、補足欄にでも、また質問してください。
　まずは、sinの不等式をマスターしましょう。

回答No.4

debut

No2です。補足についての回答です。

ここでは図がかけないので、↓のＵＲＬにあるページの図
http://www.catvy.ne.jp/~t_sato/test/tls1r/math/1_m_cat12.html
（一番下と下から２番目の図です）を見てください。
本来なら、斜辺２、底辺１、高さ√３の直角三角形でしたが
斜辺を１とした(辺を1/2倍した)ので、斜辺１,底辺1/2,高さ√3/2
になっています。今、０°から180°を考えているので、一番下
の図のように、高さ(単位円上のy座標=sinθ)が√3/2となる直角
三角形は、ｙ軸について対称な２つのものが考えられます。
１つは斜辺がｘ軸の正の部分から60°、もう１つは斜辺がｘ軸の
正の部分から180°行って60°もどった、つまり120°のところ。
よって、sinθ＝√3/2となるθは、０°から180°には２つあって
それは、60°と120°となるのです。
（説明がむずかしいです。わからなかったらごめんなさい）

で、結局、sinθ＞√3/2　つまり、円周上のｙ座標が√3/2より
大きくなるθ(x軸と円の半径を表す線とのなす角)は、60°から
だんだん大きくなって120°までである、ということになります。

参考URL：

http://www.catvy.ne.jp/~t_sato/test/tls1r/math/1_m_cat12.html

回答No.3

Mr_Holland

こういう問題は、繰り返し作図して、分からなくなるたびに、最初に戻って理解しなおすことが大切だと思います。

　分かりやすいサイトがあったので、紹介します。
　参考にしてください。

(sinの不等式)
http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/webMathematica/HighSchool/tri_graph/shisaku23-2.jsp　←これがお勧め。（不等号と値を設定したら、ずばり図示！）
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/kiso093-2.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/futousiki-tokikata/f-sin-tokikata.html

(cosの不等式)
http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/webMathematica/HighSchool/tri_graph/shisaku23-3.jsp　←これがお勧め。（不等号と値を設定したら、ずばり図示！）
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/kiso093-1.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/futousiki-tokikata/f-cos-tokikata.html

(tanの不等式)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/futousiki-tokikata/f-tan-tokikata.html
http://www.ishikawa-nct.ac.jp/lab/G/asoka/www/tamsproject1/fgtext-12.pdf　の２ページ目

補足

たくさんサイトを貼り付けていただいて、すべて拝見させていただきました。しかし、この不等号の向きのときに（他の不等号のときも）なぜこの範囲になるのかがわかりません。例えばsinθ＝√３/２ときのsinθというのは、X軸に平行になるように引いた垂線ですよね。そして、√３/２とは60°と120°のこと。それで、これを不等号にしたときに、なぜ垂線と角度で不等号が成立するのかが理解できません。

回答No.2

debut

三角比を単位円（半径１の円、中心が原点）で、Ｘ，Ｙ
座標に表す方法はわかりますか？
この円周上に点Ｐ(x,y)をとり、原点をＯとし、ｘ軸の
正の部分とＯＰのなす角をθで表すと、点Ｐの座標は
（cosθ、sinθ）と表すことができます。
これは、直角三角形の三角比から求められます。
（Ｐからｘ軸に垂線ＰＱをおろして直角三角形ＯＰＱを
　作ると、
　sinθ＝ＰＱ/ＯＰ＝ＰＱ/１＝ＰＱ・・Ｐのｙ座標
　cosθ＝ＯＱ/ＯＰ＝ＯＱ/１＝ＯＱ・・Ｐのｘ座標　
　というぐあいです）

問題の場合、まず、sinθ＝√３/２となる円周上の点を
考えます。sinθはｙ座標だったので、円周上でｙが√３/２
となる点をとることになります。これは２ヶ所あります。
これらの点を線で結んだ（ｘ軸に平行な線ですが）とき、
その線より上にある円周上に点があれば、その点のsinθ
は√３/２より大きくなります。
で、sinθ＝√３/２となる点のθは何度か？とみれば、１つ
はθ＝60°、もう１つは90°から30°いったところの120°
とわかります。
したがって、sinθ＞√３/２となるθは、60°から120°の
間ということになります。

と、説明をしてみましたが、やはり図を使って直接
先生などから説明をしていただいた方が明快にわかる
かと思います。（tanθの場合などは特に。ここで書いても
わかりにくいかと思いますので、やめておきます）

＞ここを飛ばしたら正弦定理と余弦定理は理解できませんよね？
　　不等式はともかくとして、例えば、sin120°が√3/2に
　　なるなど、90°以上の角度の120°、135°、150°について
　　の三角比をすらすら出せることは必須ですね。
　　というか、単位円がわかればいいわけですが・・

補足

回答ありがとうございます。まだわからないのでもう少し教えてください。ここの文章でどうしてこの範囲のとき、この角度になるのかがわかりません。
「sinθ＝√３/２となる点のθは何度か？とみれば、１つ
はθ＝60°、もう１つは90°から30°いったところの120°
とわかります。」

回答No.1

LPLBIF

まず、xy平面に原点を中心とした
半径が1の円を書いてみましょう。

この円上の任意の点と原点を結んだ直線とx軸が成す角を
θとすると、円状の点(x,y)=(cosθ,sinθ)となります。
たとえば、θ=60°のとき、
(x,y)=(cos60°,sin60°)=(1/2,√(3)/2)となります。
この円上で、題意を満たす角度を探せば良いのです。

そもそも実はsinとcosはこのように定義されています。
こうすると、tanθ=sinθ/cosθ=y/xとなるので、
傾きをあらわすことにも納得がいきますよね。

最初は難しいかもしれませんが、この考え方に慣れておくと
今後の学習が大分楽になると思うので、是非がんばってください。。

補足

回答ありがとうございます。とても参考になりました。諦めずがんばります。