この極限は一体?

質問

an=(1・3・5・7・9…(2n-1))/(2・4・6・8・10…2n)とする。
liman(n→∞)とlimΣan(n=1→∞)を求めよって問題です。
liman(n→∞)は、an=(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)…((2n-1)/2n)と表せるので、
(1/2+α)^n<an<β^nとおける。(0<α<1/2、α+1/2<β<1)
はさみうちの原理よりliman(n→∞)=0
困っているのはlimΣan(n=1→∞)のほうです。
どうやら無限大になるようですが証明できません。
第n項までの和はΣan=(1/2{2-(1/4{2-(1/6{2-(1/8{・・・{2-(1/2n)})とかけるのですがここからどうしたらいいか…
色々やっているうちにbn+1=2(n+1)bn+1・3・5・・・(2n+1)というあまり意味のない漸化式が出てきたり…(ちなみにbnはΣanの分子です。)
f(n)<Σanとなるような無限大に発散するf(n)を見つければ解決するんでしょうか?誰か教えてくださいm(__)m

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

全てのnに対して「βは(1-1/2n)<β<1を満たす定数」というものは存在しません。
実際に、0<β<1の定数βに対して lim (an/β^n)=∞ as n→∞となります。
anの0に収束する早さは指数関数に比べてずっと遅いです。
∫sin^(2n+1) x dx<∫sin^2n x dx<∫sin^(2n-1) x dx 積分範囲は0からπ/2まで
を利用すれば
√(2/((2n+1)π))<an<√(1/(nπ))
が導き出せます。括弧が多いですが、厳密わかるように多くしました。
和が発散することもこの評価から出る筈です。

補足

積分って応用範囲が広いんですね。
不等式の評価も和の評価も積分で出来るとは…
回答ありがとうございました。

回答No.2

zk43

Σa(n)の発散はガウスの判定法からわかります。
a(n)/a(n-1)=1-1/2n
より発散が分かります。

ガウスの判定法とは、
a(n)/a(n-1)=1-p/n+(1/nより高位の無限小）（n→∞）
なるとき、p≦1なら発散、p＞1なら収束というものです。
ここでは、級数Σ1/n^pとの比較から収束・発散を考えています。
（上ではp=1/2に相当するので発散）
ガウスの判定法を使うのは、２項間の比が1になってしまって、等比
級数との比較ができないときなどです。このとき、さらに２項間の
比を展開して、級数Σ1/n^pとの比較をしようというものです。

お礼

回答ありがとうございます。
ガウスの判定法は参考書にのってなかったので気付きませんでした。
ダランベールの判定法を使ったら収束か発散か不明だったので困っていました。
この問題が解決してよかったです。

回答No.1

nakaizu

βは何でしょうか。ひょっとすると1-1/(2n) のことでしょうか。
だとすると
lim (1-1/(2n))^n→e^(-1/2) as n→∞
ですからはさみうちでは証明できません。

an=2/π∫sin^(2n)dx 積分範囲は0からπ/2
が成り立ちますから、これを活用しましょう。和も評価できます。

お礼

回答ありがとうございます。βは(1-1/2n)<β<1を満たす定数と書けば問題なかったですね。
積分は思いつかなかったです。確かに(sinx)^nの有名な定積分に似ていますね。和の評価はan=2/π∫sin^(2n)dx 積分範囲は0からπ/2
を単純に足せばいいんですかね?