テイラー展開がわかりません

質問

arccosx （a=0、a=1/2）の３次の項までのテイラー展開なんですがどうしたらいいのかわかりません。それと（a=0、a=1/2）のaは、ほかの文字かもしれません。お願いします

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

x=aでのテイラー展開は、次の式で表されます。
　　f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)^2+f'''(a)/3!・(x-a)^3+・・・

　このことから、３次までの各項の係数は、
　　０次：　f(a)
　　１次：　f'(a)
　　２次：　f''(a)/2
　　３次：　f'''(a)/6
を求めればよいことが分かります。

　そこで、f(x)=arccos(x)の導関数ですが、arccos(x)の値域を[-π,+π]としますと、

　　f(x)=arccos(x), f(0)=±π/2, f(1/2)=±π/3　（ここの複号だけ他と反転して同順です）
　　f'(x)=±1/√(1-x^2), f'(0)=±1, f'(1/2)=±2/√3
　　f''(x)=±x/(1-x^2)^(3/2), f''(0)=0, f''(1/2)=±4/(3√3)
　　f'''(x)=±(1-4x^2)/(1-x^2)^(5/2), f'''(0)=±1, f'''(1/2)=0

となりますので、あとは、これを元のテイラー展開の式に入れて、

　　f(x)=±{π/2-x-x^3/6+・・・}　　（a=0のとき）
　　f(x)=±{π/3-2/√3・(x-1/2)-2/(3√3)・(x-1/2)^2+0+・・・}　　（a=1/2のとき）

と展開できます。

　なお、計算違いがあるといけないので、検算しておいてください。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。助かりました。