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留数の求め方について

Mr_Hollandの回答

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  • Mr_Holland
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回答No.2

 どんな公式を使ったのでしょうか。  留数の基本どおりに求めるのが簡単なように思います。  関数f(z)のz=0における留数をb1とすると、b1は関数f(z)をz=0でローラン展開したときの1/zの係数になっていますので、   f(z)=1/z^2-z/3-z^2/45-・・・  ∴b1=0 と求めることができます。  このとき、g(z)=z^2・f(z)=z・cot(z)とおくと、g'(0)がg(z)を展開したときのzの係数であることから、f(z)の1/zの係数になることを利用すれば、より早く解くことができます。   b1=g'(0)=[z→0]lim[cot(z)-z/{sin(z)}^2]=0 (ロピタルの定理を駆使)  一方、f(z)が正則関数の商であることを利用するものでは、   f(z)=p(z)/q(z), p(z)=cos(z), q(z)=z・sin(z) とおくと、2位の極においける留数は   b1=2p'(0)/q''(0)-2/3・p(0)q'''(0)/{q''(0)}^2 となりますので、   p(z)=cos(z)    p(0)=1   p'(z)=-sin(z)    p'(z)=0   q(z)=z・sin(z)   q'(z)=sin(z)+z・cos(z)   q''(z)=2cos(z)-z・sin(z)  q''(0)=2   q'''(z)=-3sin(z)-z・cos(z) q'''(0)=0 から、   b1=0 と求めることもできますが、3階微分まで行わなければならないので大変です。

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