まったくわかりません

質問

3^2000の下の二ケタを求めよ。

1997^1997を９で割った余りを求めよ。

この二つがまったくわかりません。一つ一つ計算できる数ではないし。どうやってすればいいんですか？

回答No.2

noname#122968 · ベストアンサー

こんにちは。

質問者さんの学年がわからないので、参考になるかわかりませんが…

(前半)
3^1,3^2,3^3,3^4,…3^20まで、下２桁だけ自分で書き出してください。そうすると、
03,09,27,81,43,29,87,…,01,03,09,…
となります。始めの形に戻ってくるのでこれを使って解答をしてください。

(後半)
1997^1997=(1998-1)^1997
と変形します。ここで1998は9で割り切れるので、二項定理を考えると、余りに関係あるのは、+1998Ｃ1998×(-1)^1997、の部分だけです。この部分は-1となるので…

ヒントになりましたでしょうか？

回答No.4

noname#101087

>3^2000の下の二ケタを求めよ。

mod(剰余)計算のサンプルですか?

ともかく手順を考えましょう。
3 同士を 2000 回掛け合わせ、その答えを 100 で割ったときの余り、手数は 2000 回ですね。
このとおり実行するつもりはありません。

下二桁がa、それより上の桁がA の数 Aa の値は、
　A*100+a
これに、Bb つまり、
　B*100+b
を掛けると、
　A*B*10000+(A+B)*100+a*b
となって、これを 100 で割ったときの余りは明らかに a*b 。

これが mod(剰余)計算の手口です。それでも、2000 乗ともなると筆算では大変 !
Excel の MOD( ) 関数でも使ってやらないと、あまり意味の無さそうな勘定で徹夜する破目になります。
例として 3^1024 の下の二ケタをトライ。途中のスナップ。
　3^4=MOD(81^2, 100)=81 (mod.100)
　3^8=MOD(81^2, 100)=61 (mod.100)
　……
　3^1024=MOD(41^2, 100)=81 (mod.100)

途中で、同じパターンが繰り返し出現。
「3 のべき乗の場合だけ解ければいい」というのなら、ここまでやる必要は無いのでした。

Good night !

回答No.3

zk43

modを知っている場合。
3^4≡81(mod 100)
3^5≡243≡43(mod 100)
3^6≡129≡29(mod 100)
3^7≡87(mod 100)
3^8≡261≡61(mod 100)
3^9≡183≡83(mod 100)
3^10≡249≡49(mod 100)
3^20≡49^2≡2401≡1(mod 100)
3^2000≡1(mod 100)
よって、3^2000の下２桁は01

1997≡8≡-1(mod 9)
1997^1997≡(-1)^1997≡-1≡8(mod 9)
よって、1997^1997を9で割った余りは8

modを知らない場合は、
3^5=200+43として、地道に展開を考えていくことになる。
やってることは同じ。

modは非常に便利なので、知らない場合は調べられると良いと思いま
す。
ガウスが使いだした記号だったかと思います。

回答No.1

Tacosan

3^2000 の下 2桁... ってのは, 「10進数で書くと」だろうなぁ. まず簡単にわかることとして, 「途中の計算も下 2桁だけ考えれば十分」ってことは OK でしょうか? これさえわかれば, 3^2000 = 9^1000 であることを使うと求まります. まあ, (9^5)^200 までいけばもっと簡単だけど.
で, 1997^1997 を 9 で割った余りですが, これも予め 1997 を 9 で割った余り (これを r とします) を求めておいて, 「1997^1997 を 9 で割った余りは r^1997 を 9 で割った余りと等しい」ことから求めるのがよろしいかと思います.