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三倍角の定理の証明
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例えば、 cos3x=cos(2x+x) =cos2xcosx-sin2xsinx ={cos^2(x)-sin^2(x)}cosx-{2sinxcosx}sinx =cos^3(x)-3sin^2(x)cosx =cos^3(x)-3{1-cos^2(x)}cosx =cos^3(x)-3cosx+3cos^3(x) =4cos^(x)-3cosx これ以外にも複素数を利用して証明することもできます。
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- zabuzaburo
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んじゃ複素数でやっときましょか。 まだ習ってないなら、いつか見返してもらえることを願って(^^;) ド・モアブルの定理から cos3θ + isin3θ = (cosθ + isinθ)^3……(#) 右辺を展開すると (cosθ)^3 + 3(cosθ)^2(isinθ) + 3(cosθ)(isinθ)^2 + (isinθ)^3 i^2 = -1, i^3 = -iに注意して (cosθ)^3 + i[3(cosθ)^2(sinθ)] - 3(cosθ)(sinθ)^2 - i[(sinθ)^3] iのない部分(実部)とiのある部分(虚部)に分けてまとめると [(cosθ)^3 - 3(cosθ)(sinθ)^2] + i[3(cosθ)^2(sinθ) - (sinθ)^3] これが(#)の左辺に等しいことから、実部と虚部をそれぞれ比較して cos3θ = (cosθ)^3 - 3(cosθ)(sinθ)^2……(c) sin3θ = 3(cosθ)^2(sinθ) - (sinθ)^3……(s) これは立派な「3倍角の公式」ですが、さらに (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1をもちいて (c)の「(sinθ)^2」を「1 - (cosθ)^2」に、 (s)の「(cosθ)^2」を「1 - (sinθ)^2」に置きかえれば、 「サインはサインだけで、コサインはコサインだけで」 書くことができ、世に言う「3倍角の公式」ができあがります。
- siegmund
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sin(3x) = sin(x+2x) = sin(x) cos(2x) + cos(x) sin(2x) とします. 第1項の cos(2x) は sin(x)で書けますね. また,第2項は sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) を使って, 現れる cos^2(x) を sin(x) を使って表現すればOKです. 結局,cos は全部 sin(x) で書き換えられて, あとは整理するだけです. cos(3x) もほぼ同様の方針でできます.
- oshiete_goo
- ベストアンサー率50% (374/740)
加法定理より sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ これに2倍角の公式を使って, 最終的にはすべてsinθで書く. cos3θも同様(ただしcosθのみで表す). という方針でやってみてはどうでしょう. tan3θも同様.
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