ちょっとした式変形

質問

・∫{1/(1-t)+1/(t+1)}dt=log｜(1+t)/(1-t)｜+C

logの引き算でないのに何で分数になっているのでしょうか。

・(1+sinx)/(1-sinx)={(1+sinx)/cosx}^2

分子が分かりません。

以上をよろしくお願いします。

回答No.2

Mayday_Mayday · ベストアンサー

●∫{1/(1-t)+1/(t+1)}dt=log｜(1+t)/(1-t)｜+C

以下の公式は良いですよね？
∫1/tdt=log｜t｜+c
tがマイナスの場合も同様に、
∫1/(-t)dt　=-∫1/tdt
　　　　　　=-log｜t｜+c
logの前にマイナスがつきますよね？
そして、対数の性質で、
logA－logB＝log(A/B)
という公式がありますから、分数の形になりますよね？

●(1+sinx)/(1-sinx)={(1+sinx)/cosx}^2

分母分子に(1+sinx)をかけます。（実際は、(1+sinx)/(1+sinx)）
(1+x)(1-x)=1-x^2
という公式がありましたよね？
分母がこの形ですね？(xがsinxとなりますが）

また、三角関数の公式で、sinx^2+cosx^2=1
というのがありましたが、これを用いて、
1-sinx^2=cosx^2
を利用します。
分子は、そのまま(1+sinx)^2です。

補足

みなさん、ありがとうございました。

分子は原因不明の超おろかなミスをしていました。三角関数のほうはNO1,NO2の物で理解できましたが、別にマイナスを前に出さなくてもいいのですよね。確かに微分した時のを見ると納得できるのですが、積分の公式通りにやると別に"出さなくても"いいですよね。出したほうがしき変形はきれいですが。。。。

回答No.1

cyber-poem

∫1/(1-t)dt=-log(1-t)+C
逆にこの式を微分すると(-log(1-t))'=1/(1-t)だからだと思います

(右辺)＝{(1+sinx)/cosx}^2=(1+sinx)^2/(cosx)^2
(sinx)^2+(cosx)^2=1なので
(cosx)^2=1-(sinx)^2
=(1+sinx)(1-sinx)
(1+sinx)^2/(cosx)^2=(1+sinx)^2/(1+sinx)(1-sinx)
=(1+sinx)/(1-sinx)
よって(右辺)=(左辺)