- ベストアンサー
導関数の求め方
導関数の求め方については、高校で教えてもらい、その意義としては、ある点の接線の傾きだとういうことですよね。 でも、それはf(x)の場合ですよね。 もし、ｘではなくて、x^2になったとしたら、単純に2xが掛け算された導関数ということになるという理解でいいのでしょうか。 例えば、f(x)/g(x)の導関数は、微分の商の定理から、f'g-fg'/g^2になりますよね、ということは、f(x^2)/g(x^2)の導関数は、-2x(f'g-fg')/g(x^2)^2になるのではないかと思っています。 教えてください。よろしくお願いします。
- zakobichi
- お礼率87% (7/8)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数3
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
質問者さんがどのように導かれたかは分かりませんが、結果はそのようになります。 合成関数の微分、というやつですね。 教科書が残っていらっしゃるようなら、この項を読まれるといいと思います。 参考URLに解説されているサイトを載せておきますね。 適当に見つけてきたものですが。
その他の回答 (3)
- kkkk2222
- ベストアンサー率42% (187/437)
此の表記に慣れていないので、 x＾2＝t とします。 【f(t)/g(t)】' =【2x*f'(t)g(t)-f(t)g'(t)*2x】/g(t)^2 =2x【f'(t)g(t)-f(t)g'(t)】/g(t)^2 =2x(f'g-fg')/g^2 と貴殿の言う通りになりました。 （誤植のようで、ー が付いています。）
お礼
計算過程まで記入していただいてありがとうございます。とても分かりやすくてありがとうございました。
- ringouri
- ベストアンサー率37% (76/201)
これ正しいですか？ なぜ負号が出てくるのか、分かりません。 どのようにして計算されたのでしょうか？
補足
計算は、具体的な有理関数を例にして確かめてみました。もう一度計算しなおしてみたら、-2xではなく2xでした。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
ｆ（ｘ）＝なんちゃら と ｇ（ｘ）＝ｘ^2 との合成関数になります。 http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node39.html
お礼
合成関数だったのですね。それが分かると、ぐっと元の式が見やすくなりました。ありがとうございます。
関連するQ&A
- 第３次導関数は，何を表していますか？
ａ，ｂ，ｃ，ｄ を ０ でない実数として，ｙ＝f(ｘ) を３次以上の多項式、例えば ｙ＝f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ のとき，上式を微分した導関数 ｙ'＝f'(ｘ) は，曲線の接線の傾きを表し、更に微分した第２次導関数 ｙ"＝f"(ｘ) は，曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、第３次導関数は，曲線の何を表していますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分係数と導関数(数学II)
お世話になっております。数学IIの微積の入り始めからの質問です。 どうも、極限値から微分係数を定義するあたりから、掴み損ねているのですが、まず、微分係数を図形的に捉えて、これを任意の曲線上の点上の接線の傾きを表すこと。 導関数について、これを定義通りに公式から導く。次いで導関数f'(x)のxに色々な値aを代入すると、元の関数y=f(x)のxが限り無くaに近付く時の平均変化率つまり微分係数になる。など色々説明されていますが、始めグラフで説明されていたのが、極限値あたりから途端に言葉だけの説明になり、当初平均の速さと瞬間の速さをうまく関数に対応させていた考えが、途中で途絶えてしまった感があります。そこで、単純な導関数から微分係数を求める問題をグラフから捉えてみようと図に落としてみました。 例題 関数f(x)=x^2-4xのx=0,3における微分係数を求めろ。 解 f'(x)=2x-4 が与式の導関数であるから(ここは機械的に計算しました)、 f'(0)=-4 f'(3)=2 微分係数は接線の傾きであること、接線の定義上放物線と交わるような直線とはならないし、また、微分係数はxが限り無く0または3に近付くときの平均変化率の値であることを考えると何となくですが、添付画像のようになりました。何でも良いのでアドバイスいただけると嬉しいです。 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ある関数が微分可能かどうかを調べる問題がわからない
関数 f(x)=|x(x-2)| が x=2 において微分可能であるかどうか調べよ という問題がわかりません。 グラフを描くと微分可能ではないように思うのですが、 (x=2に、右から近づいたときと左から近づいたときの、その点における接線の傾きが等しくないように思える) 計算で確かめることができません。 確かめられないというのは、やり方がわからないという意味です。 おそらく、 lim(h→2+0){ f(2+h)-f(h) / h } lim(h→2-0){ f(2+h)-f(h) / h } の値を求めて比較すればいいのでしょうが、 右側・左側からの極限がよく理解できていないため、どのような操作をしてよいかわかりません。 右側・左側からの極限まで戻ってやり直してみたのですが、いろいろ考えているうちに混乱してしまいました。 どなたかご教示いただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分についての質問です
１、関数f(x)=3x^2の表す曲線上の点（１，３）における接線の傾きを求めよ。 ２、関数f(x)=ｘ^２の表す曲線上の点A（a,a^2＋1）における接線の傾きが６のとき、aの値を求めよ。 ３、関数f(x)=x^2-xについて、xが１から３まで変わるときの平均変化率とx=aにおける微分係数が 等しくなるように、aの値を定めよ。 授業を休んでいたのでわかりません。 途中式もお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式から接線の傾き図示
微分方程式 dx/dt=x+1 を t=0のときx=0という初期条件で考えると。この微分方程式の解をx=f(t)とすると、これはt-x平面でのある曲線をあらわす。 ここからがわからないところです。 この曲線x=f(t)の上の点(t,x)では接線の傾きがx+1になっている。 xがtの関数ということはわかりますが、例えば y=f(x) の接線の傾きはxの多項式であらわされるように、曲線x=f(t)の上の点(t,x)では接線の傾きはtの多項式だとおもいます。f(t)+1では具体的な傾きがわかりません。 本の続きでは、t-x平面の各点に傾きx+1の小線分(青線？)をとりつけた図をかいています。オレンジ線は微分方程式の答え。 横軸がtで傾きはx+1なので図示できないと思うのですが、なぜこのような図になるかわかりません。 どなたか、なぜ接線の傾きx+1は図示できるかおしえてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数の連続、微分、接線、積分
関数の連続や微分可能な関数などについての理解があいまいなのですが、以下の文章に間違いがあったら指摘くださいますか？ 左右両方からxがaに接近するときの微分係数が一致したら、x=aで微分可能 x=aで微分可能ならx=aで連続。 微分可能で直線じゃないならその点においての接線がある。 微分不可能な点では接線は存在しない。 積分は連続している範囲でできる。 連続していない範囲では積分できない。 連続は（数学的じゃないですが）一筆書きでかけるようなのを連続という。数学的にはイプシロンデルタ論法をつかうと思いますが今は省略します。 f(x)が範囲Mで微分可能ならf '(x)は範囲Mでさらに微分可能。これは何回でも可能で、多項式関数の場合は最終的に0になる。 たとえばf(x)=|x| はすべての実数において連続だがx=0で微分できない。 xが０にちかづくときプラスからでもマイナスからでもf(x)は0になりかつf(0)が０であるから連続 xが0に近づくときプラスからとマイナスからの接近による微分係数は順に1,-1なので、微分できない。微分できないのでx=0における接線は存在しない。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数の最小値とその求め方を知りたいです。
y=2^x/x^2 微分（？）をして接線の傾きが0になるxを探せばいいのかと思ったのですが、 具体的にどうしたらよいのか分かりませんでした。 私は高校1年性位の数学の知識はあると思います。 どうかよろしくおねがいいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分について教えてください
関数y=f(x)を微分するとy'=f'(x)となって接線の傾きとなります。 ここで質問なんですが、y''=f''(x)は何を表わすのでしょうか？ わからなくて困ってます。 お分かりの方、教えてください。 お願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
早速サイトを確認しました。合成関数だとは気がつかなかったです。回答ありがとうございます。