判別式について

質問

判別式の使える関数を教えてください。「２次関数と１次関数」「ルートの関数と１次関数」「円と円」「円と放物線」などがありました。これらは何を基準に判別式Dを使うことが出来るのでしょうか。

「円と放物線」はこれがメインの理由かどうかは分かりませんが、「円も放物線も
ｙ軸に対象なので」と書いてあります。

さっぱり分からないので教えてください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

判別式は、「二次関数と二次関数」、「二次関数と一次関数」などの交点が1つ（重解）、２交点、交点なしの判別に使えます。

「２次関数と１次関数」:y=x^2とy=2x+a
x^2-2x-a=0, D/4=1+a
a=-1の時D/4=0　1交点（重解）
a>-1の時D/4>0 ２交点
a<-1の時D/4<0 交点なし

「ルートの関数と１次関数」：y=√{4-(x^2)}とy=x-1
4-(x^2)=(x-1)^2, (|x|≦2)
2(x^2)-2x-3=0,　D/4=1+6=7>0 , 1交点(１交点はy<0となり交点でない)

「円と円」：(x-1)^2 +(y-1)^2=4と(x+1)^2 +y^2=9
y=1±√{4-(x-1)^2}とy=±√{9-(x+1)^2}の交点
[1±√{4-(x-1)^2}]^2=9-(x+1)^2
1+{4-(x-1)^2}±√{4-(x-1)^2}=9-(x+1)^2
±√{4-(x-1)^2}=4-(x+1)^2+(x-1)^2
±√{4-(x-1)^2}=4-4x
4-(x-1)^2=16(x-1)^2
17x^2-34x+13=0, D/4=(17^2)-17*13=68>0 ２交点

「円と放物線」（y軸対象でない場合）：(x-2)^2+(y+1)^2=2とy=x^2-5
(x-2)^2+{(x^2)-4}^2 =2
x^4-7x^2-4x+18=0
この場合は４次方程式のため判別式は使えません。
f(x)=x^4-7x^2-4x+18
のグラフを描くと２根が存在することが分かります。

「円と放物線」（y軸対象の場合）：x^2+(y-1)^2=2とy=x^2-5
(y+5)+(y-1)^2=2
y^2-y+24=0
D=1-4*24=-95<0 交点なし

「円と放物線」（y軸対象の場合）：x^2+(y-1)^2=2とy=x^2-5
(y+5)+(y-1)^2=2
(y^2)-y+4=0
D=1-16=-15<0 交点なし

「円と放物線」（y軸対象の場合）：x^2+(y-1)^2=4とy=x^2-1
(y+1)+(y-1)^2=4
(y^2)-y-2=0
D=1+8=9>0 ２根
２根の積＝-2<0
一根は正、他根は負
y=-1,2
x^2=y+1=0,3,x=0(重根),±√3
３交点(0,-1),(±√3,2)

回答No.5

Tacosan

#4 の一般化の方向でいくと, 最後には「終結式」ってのが出てきます. これは, 2つの代数方程式 f(x) = 0, g(x) = 0 が同じ解を持つかどうかを判定するための式です. 代数方程式 f(x) = 0 に関しては
「x = α が f(x) = 0 の重解」⇔ 「f(α) = f'(α) = 0」
なので, f(x) = 0 と f'(x) = 0 の終結式が判別式, ということにもなります.

回答No.4

adinat

判別式というのは別に2次関数に限ったものではないです。なので、厳密に言うと、別に相手が何次関数であったって、判別式を使った解法は存在するのです。なんですが・・・、普通は高校レベルでは2次関数に対する判別式しか扱わないので、対象が2次関数のときに判別式を使える、と覚えておけばよいでしょう。具体的には放物線、円、楕円、双曲線です。なお√の関数y=√(ax+b)のような形をした関数は、数Cを習うと出てきますが、横を向いた放物線です。

せっかくなので、判別式とは何か、ということをちょっと書いておきます。別に知らなくても問題は解けますが、知っておくと、一般化が容易になります。

2次関数y=ax^2+bx+cの2解（虚数解でもよいし、重解のときは二つと考える）をα、βとすれば、y=a(x-α)(x-β)と因数分解されます。そこで
D=(α-β)^2
とおいてやりましょう。2乗しているのは、Dがα、βの対称式になって欲しいという技術上の理由があると思っておいてよいです。そうすると、
D=(α+β)^2-4αβ=(-b/a)^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2
となります。a=1であれば、これはまったく普通の判別式と同じものですよね。

さて、D=0とは何を意味するかということを考えてみます。(α-β)^2がDなのだから、これはα=βを意味するわけです。判別式とは解の差（ずれ）の2乗なのだから、それが0なら当然解が重なっている（＝重解）のだ、というわけです。そういったわけで、重解条件、あるいは接する条件というのは判別式＝0で判定できる、ということになるのです。

同じ理屈で、3次関数y=a(x-α)(x-β)(x-γ)に対しても、(α-β)^2(β-γ)^2(γ-α)^2を判別式と呼んで、それが0なら重解であるということが分かります。なお、高校では、判別式の正負で解の個数が分かることを強調されがちですが、もとは重解を持つかどうかを判別するものなのですね。

少し難しいですが、以下のページが参考になると思います。意外なところで判別式が出てきて、そして簡単に問題が解かれていることに感動できるでしょう。ぜひ時間があるときにでも一読してみてください。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomial/discriminant.htm

回答No.2

Quattro99

実数解を持つかどうかということですから、グラフで考えた場合、ある図形（直線とか円とか放物線とか）とある図形の交点を求めようとして、それらの図形を表す方程式を連立させて解こうとしたときに実数解を持てば交点（接点を含む）があり、実数解を持たなければ交点がないということになります。

回答No.1

yuu111

こんばんは

関数的には、判別式は「交点の個数」をあらわしますよね。
判別式は２次関数で使うものなので、問題文どおりに式を立ててそれが二次式になれば使えます。

「円と放物線」ということは、あの問題だと思うのですが、そうなると、「接するところ」がポイントになると思います