面積の演算
面積の演算
面積についてふと疑問に思ってしまって、どうしてよいのか分からなかったので質問します。
考えていることがうまく伝わるかどうか分からないのですが、何か教えてもらえればと思います。
まず、面積の計算と言うのは、四角形を考えて、高さがa,幅がbなら、a×bとして教わりますよね。
そもそもこの計算の意味するところが何なのかということがよく分からなくなってしまいました。
なぜこんなことを考え始めたかというと、ピタゴラスの定理a^2 + b^2 = c^2を導くときに添付した図のように、辺の長さがa,b,cの直角三角形を考えて、その一番長い辺にあわせて正方形を書き、そのまわりに同じ直角三角形を並べるようにすると、大きな正方形ができて、
大きな正方形の一辺の長さはa+bなので全体の面積は(a+b)^2となり、直角三角形や内側の正方形の面積を別々に計算して面積を出すとc^2 + 2abとなります。
それらを方程式にして
(a + b)^2 = c^2 + 2ab
とすると、a^2 + b^2 = c^2
が得られます。
でもこのとき、これらの二つの式を"="で結んでいいのは、「面積が同じだから」ということだと思います。でも、この「面積が同じ」というのは、「見た目が同じ」だから同じでよいということを言っていると思いますが、それは面積を出す式で表現された結果が同じであるということは直接は結びつかないと思います。
これらの式がそれらの性質を持つように作られているというとは、なんとなく分かるのですが、どうしてそのような性質を持つ定義にできているのかがよく分からないというかなんというか・・・。
意味が、伝わるでしょうか。
図形から得られる、「面積」というものの定義の性質を考えると、このような計算が可能である、ということでいいのでしょうか？
面積を小学生の時に習ったときから、どういう意味なのかというのをずっと考えて、当時は小さい線がたくさん集まるということなのか、とか考えたりしました。
積分を習ったときに、なんとなく自分が考えていたことがそれほど間違いではなかったような気はしたのですが、いまだに、この、面積というものの正体がはっきりつかめません。
私自身どのように説明していいのか分からない部分もあり、何を言っているのかわからないかもしれませんが、よろしくお願いします。
