オイラーの公式

質問

eix=-1(?)
というようなものを高校の段階で覚える必要はあるのでしょうか。もちろんすべての大学入試問題ではこれを使わなくてもまったくもって大丈夫だと思います。
しかし、積分や微分、和積・積和の公式など多くの高校の範囲で出てくる公式を暗記する必要がなくなるみたいなので。

また、オイラーの公式を数学が苦手な高校生にも分かるように説明してください。

よろしくお願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

１０＃　加法定理（三角関数）
２０＃　複素数平面／複素平面／ガウス平面
３０＃　ド・モアブルの定理
３５＃　極形式
４０＃　テイラー展開
５０＃　双曲線関数
４５＃　オイラーの公式

複素平面は既知と思います。
ド・モアブルの定理が既知ならば、
オイラーの公式、は左程に難解とは感じないはずです。
上記の中で、テイラー展開（重要ですが）判りにくいはずです。

オイラーは華麗ですので、知っていて損はありません。
（当然ながらロピタル同様、受験では使用禁止です。）
かって、東大で（加法定理の証明）が出題されました。
オイラーをつかえば、簡単ですが、公理系（？）としては、加法定理→ド・モアブル→オイラーの順のため、正解率は低かったそうです。
Ｅ＾（iθ）＝ＣＯＳθ＋iＳＩＮθ　です。

Ｅ＾（iθ）Ｅ＾（iθ）＝Ｅ＾（i２θ）より
（ＣＯＳθ＋iＳＩＮθ）＾２＝ＣＯＳ２θ＋iＳＩＮ２θ
展開すれば２倍角
Ｅ＾（iθ）Ｅ＾（iθ）Ｅ＾（iθ）＝Ｅ＾（i３θ）
（ＣＯＳθ＋iＳＩＮθ）＾３＝ＣＯＳ３θ＋iＳＩＮ３θ
展開すれば３倍角
Ｅ＾（iα）Ｅ＾（iβ）＝Ｅ＾（i（α＋β））
（ＣＯＳα＋iＳＩＮα）（ＣＯＳβ＋iＳＩＮβ）＝ＣＯＳ（α＋β）＋iＳＩＮ（α＋β）
展開すれば加法定理

証明（説明）はＮＥＴ会話では無理です。テイラー展開がネックです。

＞＞積分や微分、和積・積和の公式・・・を暗記する必要がなくなる。
残念ながら、そこまでの威力はありません。

お礼

みなさんどうもありがとうございました。
余計なことに手を出さず、やるべきことに専念します。

回答No.1

u-ryukyu

高校の段階でオイラーの公式は必要ありません。
ちなみにオイラーの公式は
e^ix=cosx+isinx　　（＾は例えばx^2とあったらxの2乗という意味です。iは虚数）
で、質問にある式はｘ=πもしくはx=-π　のときに-1になります。
です。ためしに公式のｘに代入してみてください。現在の高校では複素数平面というものはないでしょう？別に覚えていなくても不便はないでしょう。
このオイラーの公式では簡単に、sinθとcosθの微分公式や積分、加法定理を求めることは高校の範囲でできます。しかし、余分な式や計算方法を覚えなくてはならなくなるのでしょう。少し時間もかかりますしね。