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Lie微分の局所座標表示
T(a,b)を可微分多様体M(n次元)上の(a,b)Typeテンソル場、XをM上ベクトル場とするとき、T(a,b)のLie微分を (i)a=b=0のとき L_Xf=X(f) fはM上の可微分関数 (ii)a=1,b=0のとき L_XY=[X,Y] YはM上ベクトル場 (iii)a=0,b=1のとき (L_Xω)(Y)=X(ω(Y))-ω([X,Y]) ωは1-形式 (iv)一般の場合ξ∈T(a,b) (L_Xξ)(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b) =L_X(ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b)) -Σ_[s=1,a]ξ(ω_1,…,L_Xω_s,…,ω_a,X_1,…,X_b) -Σ_[t=1,b]ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,L_XX_t,…,X_b) と定義した場合、 X,ξ夫々の局所座標成分をX^μ,ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_b]と表すなら、L_Xξの局所座標成分は、 Σ_[λ=1,n]X^λ∂ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_b]/∂x^λ -Σ_[s=1,a]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_s-1λμ_s+1…μ_a]_[ν_1…ν_b]∂X^μ_s/∂x^λ -Σ_[t=1,b]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_t-1λν_t+1…ν_b]∂X^λ/∂x^ν_t と表せる。 このLie微分の局所座標成分を、上の定義から導きだす事が出来ませんでした。 ご教示下さい。
- massa0111
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>成分表示で計算したときに、うまい具合に打ち消し合わなかったので、質問させて頂いたのですが、、もう一度見直してみます。 まずは(1,1)型のテンソルで考えてみてはどうでしょう? (L_Xξ)(ω,Y) =L_X(ξ(ω,Y)) - ξ(L_X ω,Y) - ξ(ω,L_X Y) =X^λ∂_λ(ξ^μ_ν ω_μ Y^ν) - ξ^μ_ν(X^λ∂_λω_μ+ω_λ∂_μX^λ)Y^ν - ξ^μ_νω_μ(X^λ∂_λ Y^ν-Y^λ∂_λ X^ν) =X_λ(∂_λξ^μ_ν)ω_μY^ν - ξ^μ_ν(∂_μX^λ)ω_λY^ν + ξ^μ_ν(∂_λX^ν)ω_μY^λ ={X_λ(∂_λξ^μ_ν) - ξ^λ_ν(∂_λX^μ) + ξ^μ_λ(∂_νX^λ)}ω_μY^ν となります。 3行目から4行目の部分でωやYに関する微分が消えるのはいいですかね?3行目の第1項の微分を計算すると、ωやYに関する微分を含む項が出てきますが、これは後ろに出てくる項と全く同じ形をしていますよね。 ですので、L_X ξを成分で書くと、 X_λ(∂_λξ^μ_ν) - ξ^λ_ν(∂_λX^μ) + ξ^μ_λ(∂_νX^λ) のようになります。より高階のテンソルについても同様ですね。(大雑把に言えばsやtに関する和がつくだけです)
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- eatern27
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>実は、一般の微分作用素において、0-formに対する作用と、ベクトル場に対する作用さえ定義すれば、一般のテンソル場に対する作用は決まる、 1.(a,b)型のテンソル場から(a,b)型のテンソル場への線形写像である(特に、テンソル場の型を変えない) 2.テンソル積についてライプニッツ則(積の微分)が成り立つ 3.縮約をとる操作と可換 の3つの条件を満たしている時に、そのような事が言えます。 まずは、1-形式の微分を求めます。(微分作用素をDとします) ω(X)はωとXのテンソル積を縮約したものであることから、 D(ω(X)) = (Dω)(X) + ω(DX) が成り立ちます。今、ω(X)とXに対するDの作用の形が分かっていれば、 (Dω)(X) = D(ω(X)) - ω(DX) により、Dωが一意に決まります。 一般のテンソル場Tは、ベクトル場と1-形式のテンソル積たちの線形結合で書けます。従って、Dの線形性とライプニッツ則からDTが決まります。
お礼
ありがとうございました。 これから勉強していく指針になりました。
- eatern27
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簡単のため、 ∂/∂x^λ→∂_λ のように書くことにして、Σを省略(重複している添え字について、適当な範囲で和をとる)しますが、 X(f)を成分で書くと、X^λ∂_λ f L_X Yを成分で書くと、X^λ∂_λ Y^μ-Y^λ∂_λ X^μ L_X ωを成分で書くと、X^λ∂_λω_μ+ω_μ∂_λX^μ となることはOKですか? OKであれば、これを使って、 >(L_Xξ)(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b) >=L_X(ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b)) >-Σ_[s=1,a]ξ(ω_1,…,L_Xω_s,…,ω_a,X_1,…,X_b) >-Σ_[t=1,b]ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,L_XX_t,…,X_b) を計算してやるだけですね。計算の途中で、ω_1やX_1などの微分の項が出てきますが、これらは上手い具合に打ち消しあってくれます。 ところで、 >Σ_[λ=1,n]X^λ∂ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_b]/∂x^λ >-Σ_[s=1,a]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_s-1λμ_s+1…μ_a]_[ν_1…ν_b]∂X^μ_s/∂x^λ >-Σ_[t=1,b]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_t-1λν_t+1…ν_b]∂X^λ/∂x^ν_t 一番最後の項はマイナスではなく、プラスでは?
お礼
成分表示はOKです。 成分表示で計算したときに、うまい具合に打ち消し合わなかったので、質問させて頂いたのですが、、もう一度見直してみます。 ご指摘通り、最後の項はプラスでした。 ありがとうございました。
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