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電磁場の量子化

(1)電磁場を量子化するさいに、電磁場を波束の集まりに分解してエネルギーを2次形式で表現します。このさいの数学的な変形は理解できるのですが、これの物理的な意味がよくわかりません。このハミルトニアンの表現は電磁場を無数の光子の集まりと考えているのでしょうか、それとも波束ベクトルの集まりとかんがえているのでしょうか。 (2)電磁場を量子化するさいに、ハミルトニアンを用います。このとき、運動量と位置の演算子が定義されますが、この量子化された運動量や位置は電磁場を構成する光子のものですか、それとも電磁場のものなのですか。 どちらかだけでもよいので、解説どうかお願いします。

noname#70507
noname#70507

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.4
  • KENZOU
  • ベストアンサー率54% (241/444)

以下、蛇足ながらヒントにでもなればと。。。 古典的取り扱いで電磁場をFourie展開すれば調和振動子の方程式が得られますね(例えば高橋康「古典場から量子場への道」講談社)。ここで注意すべきは調和振動子の方程式q"(k,t)=-c^2k^2q(k,t)で座標xがまったく入っていない点です。これは調和振動子が空間のどの位置にあるのかを不問にしているということで、調和振動子は空間全体に一様に存在することになります。これはよく知られているようにFourie変換の特性として波数kを正確に指定すれば位置情報は完全にわからなくなるということからきています(←QDの場合は位置と運動量)。電磁場を量子化したHamiltonianは古典場のそれを演算子に置き換え、交換関係の要請をすれば出来上がります。ここで生成消滅演算子を定義し、Hamiltonianをこれで書き換えてやれば簡単な代数演算でエネルギー順位を求めることができますね。この辺は大抵の量子力学のテキストに詳しく書かれていますので参照ください(Sakurai「現代の量子力学I」吉岡書店)。 とことで古典力学の調和振動子のエネルギーは運動エネルギーと位置の変位で生じる弾性エネルギーの和で丁度振幅の2乗に比例しました。量子力学で調和振動子った場合、振幅は粒子的側面(光子)に、振動数や位相は波動的側面(電磁波)にとあてがって考えることができます。うまい具合に粒子と波動の2重性を取り込むことができます。 >光子に働く力はその位置xに比例して-Kxとかけるということでしょうか。 光子という粒(質点)がまずあってそれに-kxという力が作用して振動しているというイメージではなくて、電磁場を量子化するとそれは(1/2)kq^2というポテンシャルのなかにある粒子の運動で記述できるということです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。そういわれてみれば波動性と粒子性がうまく表現されていますね。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

すみません。脱字ミスをしてしまいました。 PとQは、一般化座標で表現した、光子の「運動量と変位」 と書きましたが、 PとQは、一般化座標で表現した、光子の振幅の「運動量と変位」 と訂正させてください。式を書かずに言葉だけで説明するのは難しいですね。ついでですので、もう少し補足させて下さい。PとQは電磁波(光子)の振幅のみを量子化した量ですから、これが直接には光子の運動量と位置には結びつきません。光子の位置や運動量を求めるには、q(t)e^(ikx)のe^(ikx)の部分も考慮しなければなりません。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。たしかにそうですね。

  • 回答No.2
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

「光子の運動量、位置」という言い方は、あまり適切でなかったもしれません。PとQは、調和振動子としての運動量と位置と解釈できますから、一般化座標で表現した、光子の「運動量と変位」と理解して良いのではないでしょうか。Qはその定義からもわかるように「電磁波の振幅」を量子化した量です。また、PはQの時間微分です。分かりやすく言えばx軸方向に進む電磁波q(t)e^(ikx)があったとき、q(t)を一般化座標で表し、更に、量子化した量がQです。Qにはxは含まれていません。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。すこしイメージがわきました。

  • 回答No.1
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

(1)簡単に言えば、電磁場の量子化は、電磁場を無数の調和振動子の集まりだと考えますから、電磁場のハミルトニアンの表現も、当然、無数の光子の集まりによるエネルギーだと解釈して良いと思います。このことはハミルトニアンの表現H=Σhωa^[*]aを見れば、判然とするのではないでしょうか。 (2)運動量と位置の演算子PとQについても、同様です。PとQは調和振動子の運動量と位置だと解釈すれば、電磁場ではなく、光子の運動量、位置であることが分かるのではないでしょうか。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。さらに質問なのですが、電磁場は黒体のなかで定常波を形成しています。これはちょうど弦の定常波の振動とおなじです。 その電磁場が調和振動子と考えられ、さらに光子から形成されます。というこなら調和振動子とみなせる光子の位置とは、電磁場の進行方向の軸からの変位であり、光子に働く力はその位置xに比例して-Kxとかけるということでしょうか。 何度もすいませんが返答お願いします。

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